Решите неравенство lg2x - lgx - 2 < 0.

Давай решим это неравенство по шагам.

Сначала сделаем замену переменной, чтобы упростить выражение.

Пусть t = lgx. Тогда наше неравенство примет вид:

\[t^2 - t - 2 < 0\]

Теперь решим квадратное неравенство. Для этого найдем корни квадратного уравнения:

\[t^2 - t - 2 = 0\]

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения:

\[t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\]

В нашем случае a = 1, b = -1, c = -2.

\[t = \frac{1 \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2)}}{2 \cdot 1}\]

\[t = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2}\]

\[t = \frac{1 \pm \sqrt{9}}{2}\]

\[t = \frac{1 \pm 3}{2}\]

Таким образом, у нас два корня:

\[t_1 = \frac{1 + 3}{2} = 2\]

\[t_2 = \frac{1 - 3}{2} = -1\]

Теперь мы знаем корни, можем записать неравенство в виде:

\[(t - 2)(t + 1) < 0\]

Решением этого неравенства является интервал между корнями:

\[-1 < t < 2\]

Теперь вернемся к исходной переменной x, учитывая, что t = lgx:

\[-1 < lgx < 2\]

Чтобы решить это двойное неравенство, мы должны избавиться от логарифма. Вспомним, что lgx - это логарифм по основанию 10. Поэтому:

\[10^{-1} < x < 10^2\]

\[\frac{1}{10} < x < 100\]

Или, в десятичном виде:

\[0.1 < x < 100\]

Итак, решение неравенства: (0.1; 100).

Опция (0, 1; 100) наиболее близка к правильному ответу.