Решите неравенство log²₂(25 – х²) - 7 log₂(25 - x²) + 12 ≥ Выберите все промежутки, входящие в решение. [√17;+∞) (-∞;-√17] (-√17; √17) [-5;-√17] (-5;5) [-3; 3] [√17;5) (-5;-√17] (-∞; 3] [√17;5]

Решение:

Обозначим log₂(25 - x²) = t. Тогда неравенство примет вид:

\[t^2 - 7t + 12 \ge 0\]

Решим квадратное уравнение:

\[t^2 - 7t + 12 = 0\]

Дискриминант:

\[D = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12 = 49 - 48 = 1\]

Корни:

\[t_1 = \frac{7 + \sqrt{1}}{2} = \frac{7 + 1}{2} = 4\] \[t_2 = \frac{7 - \sqrt{1}}{2} = \frac{7 - 1}{2} = 3\]

Решением неравенства являются промежутки:

\[t \le 3 \quad \text{или} \quad t \ge 4\]

Вернемся к исходной переменной:

\[log_2(25 - x^2) \le 3 \quad \text{или} \quad log_2(25 - x^2) \ge 4\]

Решим каждое неравенство отдельно.

1) \[log_2(25 - x^2) \le 3\]

\[25 - x^2 \le 2^3\] \[25 - x^2 \le 8\] \[x^2 \ge 17\] \[x \le -\sqrt{17} \quad \text{или} \quad x \ge \sqrt{17}\]

2) \[log_2(25 - x^2) \ge 4\]

\[25 - x^2 \ge 2^4\] \[25 - x^2 \ge 16\] \[x^2 \le 9\] \[-3 \le x \le 3\]

Область определения логарифма: \[25 - x^2 > 0 \Rightarrow x^2 < 25 \Rightarrow -5 < x < 5\]

С учетом области определения получаем следующие промежутки:

\[-5 < x \le -\sqrt{17}\] \[\sqrt{17} \le x < 5\] \[-3 \le x \le 3\]

Таким образом, решениями являются следующие промежутки:

• \[(-5; -\sqrt{17}]\]
• \[[\sqrt{17}; 5)\]
• \[[-3; 3]\]

Ответ: (-5;-√17], [√17;5), [-3; 3]

Молодец! Ты отлично справился с этим заданием. Продолжай в том же духе, и у тебя всё получится!