Решите неравенство log²₅x – 3log₅x + 2 > 0. Укажите наименьшее целое число, входящее в решение неравенства. Если наименьшее целое число указать нельзя, то введите -1000.

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Замена переменной. Пусть \( t = \log_5 x \). Тогда неравенство примет вид: \[ t^2 - 3t + 2 > 0 \]
2. Шаг 2: Решение квадратного неравенства. Находим корни квадратного уравнения \( t^2 - 3t + 2 = 0 \) через дискриминант: \[ D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 9 - 8 = 1 \] \[ t_1 = \frac{3 - \sqrt{1}}{2} = \frac{3 - 1}{2} = 1 \] \[ t_2 = \frac{3 + \sqrt{1}}{2} = \frac{3 + 1}{2} = 2 \]
3. Шаг 3: Определяем интервалы для t. Неравенство \( t^2 - 3t + 2 > 0 \) выполняется, когда \( t < 1 \) или \( t > 2 \).
4. Шаг 4: Возвращаемся к переменной x. a) \( \log_5 x < 1 \) означает \( x < 5^1 \), то есть \( x < 5 \). b) \( \log_5 x > 2 \) означает \( x > 5^2 \), то есть \( x > 25 \).
5. Шаг 5: Учитываем ОДЗ. Логарифм существует при \( x > 0 \). Следовательно, решение неравенства \( 0 < x < 5 \) или \( x > 25 \).
6. Шаг 6: Ищем наименьшее целое число, входящее в решение. Из интервала \( (0; 5) \) наименьшее целое число не существует, так как интервал начинается с 0 (не включая его). Из интервала \( (25; +\infty) \) наименьшее целое число равно 26.

Ответ: 26