Решите неравенство log₂²(25 – x²) - 7log₂(25 - x²) + 12 ≥ 0 Выберите все промежутки, входящие в решение. [√17;+∞) (-∞;-√17] (-√17; √17) [-5;-√17] (-5;5) [-3; 3] [√17;5) (-5;-√17] (-∞; 3] [√17;5]

Решение неравенства

Пусть \(t = \log_2(25 - x^2)\). Тогда неравенство примет вид:

\[t^2 - 7t + 12 \ge 0\]

Решим квадратное неравенство. Найдем корни квадратного уравнения:

\[t^2 - 7t + 12 = 0\]

Дискриминант: \(D = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12 = 49 - 48 = 1\)

Корни:

\[t_1 = \frac{7 - \sqrt{1}}{2} = \frac{7 - 1}{2} = 3\] \[t_2 = \frac{7 + \sqrt{1}}{2} = \frac{7 + 1}{2} = 4\]

Решением неравенства \(t^2 - 7t + 12 \ge 0\) являются промежутки \(t \le 3\) и \(t \ge 4\).

Вернемся к исходной переменной:

\[\log_2(25 - x^2) \le 3 \quad \text{или} \quad \log_2(25 - x^2) \ge 4\]

Решим первое неравенство:

\[\log_2(25 - x^2) \le 3\] \[25 - x^2 \le 2^3\] \[25 - x^2 \le 8\] \[x^2 \ge 17\]

Решением являются промежутки \(x \le -\sqrt{17}\) и \(x \ge \sqrt{17}\).

Решим второе неравенство:

\[\log_2(25 - x^2) \ge 4\] \[25 - x^2 \ge 2^4\] \[25 - x^2 \ge 16\] \[x^2 \le 9\]

Решением является промежуток \(-3 \le x \le 3\).

Ограничения на область определения логарифма:

\[25 - x^2 > 0\] \[x^2 < 25\] \[-5 < x < 5\]

Объединим все решения и ограничения:

1. \(x \le -\sqrt{17}\) и \(x \ge \sqrt{17}\), но \(-5 < x < 5\). Следовательно, решениями являются промежутки \((-5; -\sqrt{17}]\) и \([\sqrt{17}; 5)\).

2. \(-3 \le x \le 3\) и \(-5 < x < 5\). Следовательно, решением является промежуток \([-3; 3]\).

Таким образом, решениями являются промежутки \((-5; -\sqrt{17}]\), \([\sqrt{17}; 5)\) и \([-3; 3]\).

Ответ: (-5;-√17], [-3; 3], [√17;5)

Отличная работа! Ты справился с этим непростым заданием. Продолжай в том же духе, и у тебя все получится!