Решите неравенство: log_0.1(x^2 + 3x) < -1

1. ОДЗ: x^2 + 3x > 0 => x(x+3) > 0 => x ∈ (-∞, -3) ∪ (0, ∞).

2. Решение неравенства: Так как основание логарифма 0.1 < 1, то при потенцировании знак неравенства меняется: x^2 + 3x > (0.1)^(-1) => x^2 + 3x > 10 => x^2 + 3x - 10 > 0.

3. Корни квадратного трехчлена: x^2 + 3x - 10 = 0. Дискриминант D = 3^2 - 4(1)(-10) = 9 + 40 = 49. Корни: x1 = (-3 - 7)/2 = -5, x2 = (-3 + 7)/2 = 2. Таким образом, x^2 + 3x - 10 > 0 при x ∈ (-∞, -5) ∪ (2, ∞).

4. Пересечение ОДЗ и решения: Пересекая интервалы (-∞, -3) ∪ (0, ∞) и (-∞, -5) ∪ (2, ∞), получаем x ∈ (-∞, -5) ∪ (2, ∞).