Решите неравенство log11 (8x² + 7) - log11 (x² + x + 1) ≥ log11 (x/(x+5) + 7)

Решение:

Давай решим это логарифмическое неравенство по шагам. Сначала запишем исходное неравенство:

\[\log_{11}(8x^2 + 7) - \log_{11}(x^2 + x + 1) \geq \log_{11}\left(\frac{x}{x+5} + 7\right)\]

Используем свойство логарифмов \(\log_a(b) - \log_a(c) = \log_a(\frac{b}{c})\):

\[\log_{11}\left(\frac{8x^2 + 7}{x^2 + x + 1}\right) \geq \log_{11}\left(\frac{x}{x+5} + 7\right)\]

Поскольку логарифм по основанию 11 является возрастающей функцией, можно убрать логарифмы, сохранив знак неравенства:

\[\frac{8x^2 + 7}{x^2 + x + 1} \geq \frac{x}{x+5} + 7\]

Приведем правую часть к общему знаменателю:

\[\frac{8x^2 + 7}{x^2 + x + 1} \geq \frac{x + 7(x+5)}{x+5}\] \[\frac{8x^2 + 7}{x^2 + x + 1} \geq \frac{x + 7x + 35}{x+5}\] \[\frac{8x^2 + 7}{x^2 + x + 1} \geq \frac{8x + 35}{x+5}\]

Перенесем все в левую часть:

\[\frac{8x^2 + 7}{x^2 + x + 1} - \frac{8x + 35}{x+5} \geq 0\]

Приведем к общему знаменателю:

\[\frac{(8x^2 + 7)(x+5) - (8x + 35)(x^2 + x + 1)}{(x^2 + x + 1)(x+5)} \geq 0\]

Раскроем скобки:

\[\frac{8x^3 + 40x^2 + 7x + 35 - (8x^3 + 8x^2 + 8x + 35x^2 + 35x + 35)}{(x^2 + x + 1)(x+5)} \geq 0\] \[\frac{8x^3 + 40x^2 + 7x + 35 - 8x^3 - 8x^2 - 8x - 35x^2 - 35x - 35}{(x^2 + x + 1)(x+5)} \geq 0\] \[\frac{-3x^2 - 36x}{(x^2 + x + 1)(x+5)} \geq 0\] \[\frac{-3x(x + 12)}{(x^2 + x + 1)(x+5)} \geq 0\]

Умножим на \(-1/3\):

\[\frac{x(x + 12)}{(x^2 + x + 1)(x+5)} \leq 0\]

Знаменатель \(x^2 + x + 1\) всегда положителен (т.к. дискриминант отрицателен и коэффициент при \(x^2\) положителен).

Тогда:

\[\frac{x(x + 12)}{x+5} \leq 0\]

Решим методом интервалов:

Нули числителя: \(x = 0\), \(x = -12\)

Нули знаменателя: \(x = -5\)

Отметим точки на числовой прямой:

------------(-12)++++++++++(-5)----------(0)+++++++++

Получаем интервалы: \((-\infty, -12]\), \((-5, 0]\)

ОДЗ: \(8x^2 + 7 > 0\) (всегда выполняется) \(x^2 + x + 1 > 0\) (всегда выполняется) \(\frac{x}{x+5} + 7 > 0\) \(\frac{x + 7x + 35}{x+5} > 0\) \(\frac{8x + 35}{x+5} > 0\)

Решим это неравенство методом интервалов:

------------(-35/8)++++++++++(-5)++++++++++++

Значит, \(x \in (-\infty, -35/8) \cup (-5, +\infty)\)

Пересечение с решением неравенства: \((-\infty, -12] \cup (-35/8, -5) \cup (-5, 0]\)

Учитывая все условия, получаем:

\[x \in (-\infty; -12] \cup \left(-\frac{35}{8}; 0\right]\]

Ответ: x ∈ (-∞; -12] ∪ (-35/8; 0]

Молодец! Ты отлично справился с этой задачей. Продолжай в том же духе, и у тебя всё получится!