Решите неравенство log₂x² ≤ 2.

Решение:

Чтобы решить логарифмическое неравенство \( \log_2{x^2} \le 2 \), нужно учесть область допустимых значений (ОДЗ) для логарифма. Аргумент логарифма должен быть положительным, то есть \( x^2 > 0 \). Это условие выполняется для всех \( x \), кроме \( x = 0 \).

Теперь преобразуем неравенство, используя свойства логарифмов:

\( \log_2{x^2} = 2 \log_2{|x|} \)

Исходное неравенство примет вид:

\[ 2 \log_2{|x|} \le 2 \]

Разделим обе части на 2:

\[ \log_2{|x|} \le 1 \]

Так как основание логарифма (2) больше 1, функция \( \log_2{t} \) возрастающая. Следовательно, мы можем перейти от логарифмического неравенства к алгебраическому, сохранив знак неравенства:

\[ |x| \le 2^1 \]

\[ |x| \le 2 \]

Решением этого неравенства является интервал \( -2 \le x \le 2 \).

Теперь учтём ОДЗ \( x e 0 \). Исключив \( x = 0 \) из интервала \( [-2, 2] \), получаем:

\[ -2 \le x < 0 \quad \text{и} \quad 0 < x \le 2 \]

В виде интервалов это записывается как \( [-2, 0) \cup (0, 2] \).

Ответ: \( [-2, 0) \cup (0, 2] \).