Решите неравенство (log₂x - 2 log₂ x)² < 11log₂x - 22 log₂ x - 24.

Краткое пояснение:

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Введем замену переменной. Пусть y = log₂x. Тогда исходное неравенство примет вид:
   \[ (y - 2y)^2 < 11y - 22y - 24 \]
2. Шаг 2: Упростим полученное неравенство:
   \[ (-y)^2 < -11y - 24 \]
   \[ y^2 < -11y - 24 \]
3. Шаг 3: Перенесем все члены в левую часть и получим квадратное неравенство:
   \[ y^2 + 11y + 24 < 0 \]
4. Шаг 4: Найдем корни квадратного трехчлена y² + 11y + 24 = 0. Используем теорему Виета или формулу дискриминанта.
   Корни: y₁ = -3, y₂ = -8.
   Таким образом, разложение на множители: (y + 3)(y + 8) < 0.
5. Шаг 5: Решим квадратное неравенство. Так как парабола y² + 11y + 24 направлена ветвями вверх, то значения функции будут отрицательны между корнями.
   Следовательно, -8 < y < -3.
6. Шаг 6: Вернемся к исходной переменной x. Подставим y = log₂x:
   \[ -8 < ext{log}_{2}x < -3 \]
7. Шаг 7: Решим двойное логарифмическое неравенство. Поскольку основание логарифма (2) больше 1, функция возрастает, и мы можем преобразовать неравенство, возведя все части в степень основания логарифма:
   \[ 2^{-8} < x < 2^{-3} \]
8. Шаг 8: Вычислим значения степеней:
   \[ \frac{1}{2^8} < x < \frac{1}{2^3} \]
   \[ \frac{1}{256} < x < \frac{1}{8} \]
9. Шаг 9: Проверим условие допустимых значений для логарифма: x > 0. Полученный интервал (1/256, 1/8) полностью удовлетворяет этому условию.

Ответ: \[ \frac{1}{256} < x < \frac{1}{8} \]