Решите неравенство: (log₂x-2log₂x)² +36log₂x+45<18log₂x;

Решение:

1. Пусть \( y = \log_2 x \). Тогда неравенство примет вид: \( (y - 2y)^2 + 36y + 45 < 18y \)
2. Упростим неравенство: \( (-y)^2 + 36y + 45 < 18y \)
3. \( y^2 + 36y + 45 < 18y \)
4. \( y^2 + 18y + 45 < 0 \)
5. Найдем корни квадратного уравнения \( y^2 + 18y + 45 = 0 \):
6. \( D = 18^2 - 4 · 1 · 45 = 324 - 180 = 144 \)
7. \( \sqrt{D} = 12 \)
8. \( y_1 = \frac{-18 + 12}{2} = -3 \)
9. \( y_2 = \frac{-18 - 12}{2} = -15 \)
10. Решением неравенства \( y^2 + 18y + 45 < 0 \) является интервал \( (-15; -3) \).
11. Теперь вернемся к замене \( y = \log_2 x \):
12. \( -15 < \log_2 x < -3 \)
13. Так как основание логарифма \( 2 > 1 \), то:
14. \( 2^{-15} < x < 2^{-3} \)
15. \( \frac{1}{2^{15}} < x < \frac{1}{2^3} \)
16. \( \frac{1}{32768} < x < \frac{1}{8} \)
17. Учтем область определения логарифма, \( x > 0 \). Поскольку \( \frac{1}{32768} > 0 \), то область определения учтена.

Ответ: (\(\frac{1}{32768}; \frac{1}{8}\)).