Решите неравенство: log₂ x + logₓ 16 > 5

Шаг 1: Преобразуем неравенство, используя свойства логарифмов. Заметим, что logₓ 16 = logₓ (2⁴) = 4 logₓ 2. Также, logₓ 2 = 1 / log₂ x. Поэтому неравенство примет вид: log₂ x + 4 / log₂ x > 5.

Шаг 2: Введем замену переменной. Пусть y = log₂ x. Тогда неравенство станет: y + 4/y > 5. Учтем, что x > 0 и x ≠ 1, следовательно, y ≠ 0.

Шаг 3: Решим полученное рациональное неравенство: y + 4/y - 5 > 0. Приведем к общему знаменателю: (y² - 5y + 4) / y > 0. Разложим числитель на множители: (y - 1)(y - 4) / y > 0. Решая методом интервалов, получаем y ∈ (0, 1) ∪ (4, ∞).

Шаг 4: Вернемся к исходной переменной x. Учитывая, что y = log₂ x, получаем два случая:

1) 0 < log₂ x < 1. Это означает 2⁰ < x < 2¹, то есть 1 < x < 2.

2) log₂ x > 4. Это означает x > 2⁴, то есть x > 16.

Объединяя оба случая и учитывая ограничения x > 0 и x ≠ 1, получаем ответ: x ∈ (1, 2) ∪ (16, ∞).