Решите неравенство: log₃x + log₃(x - 2) ≤ 1 Выберите один или несколько ответов:

Решение:

Чтобы решить неравенство \( \log_3 x + \log_3(x - 2) \le 1 \), нужно сначала определить область допустимых значений (ОДЗ).

1. ОДЗ: аргvменты логарифмов должны быть положительными.
• \( x > 0 \)
• \( x - 2 > 0 \implies x > 2 \)
2. Объединяя условия, получаем ОДЗ: \( x > 2 \).
3. Используем свойство логарифмов \( \log_a b + \log_a c = \log_a (b \cdot c) \):
• \( \log_3 (x(x - 2)) \le 1 \)
4. Перепишем неравенство, используя определение логарифма \( \log_a b \le c \iff b \le a^c \) при \( a > 1 \):
• \( x(x - 2) \le 3^1 \)
• \( x^2 - 2x \le 3 \)
• \( x^2 - 2x - 3 \le 0 \)
5. Решим квадратное неравенство \( x^2 - 2x - 3 \le 0 \). Найдем корни уравнения \( x^2 - 2x - 3 = 0 \):
• Дискриминант \( D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16 \)
• Корни: \( x_1 = \frac{2 - \sqrt{16}}{2} = \frac{2 - 4}{2} = -1 \) и \( x_2 = \frac{2 + \sqrt{16}}{2} = \frac{2 + 4}{2} = 3 \)
• Парабола \( y = x^2 - 2x - 3 \) направлена ветвями вверх, поэтому \( x^2 - 2x - 3 \le 0 \) при \( -1 \le x \le 3 \).
6. Теперь учтем ОДЗ \( x > 2 \) и полученное решение \( -1 \le x \le 3 \).
• Пересечение этих условий: \( 2 < x \le 3 \).

Ответ: (2; 3]