Решите неравенство log3(x) - 2 log3(x - 3) > 0. Укажите наименьшее целое число, входящее в решение неравенства. Если наименьшее целое число указать нельзя, то введите -1000. Укажите количество целых чисел из отрезка [0; 30), входящих в решение.

ОДЗ:

• \[ x > 0 \]
• \[ x - 3 > 0 \implies x > 3 \]
• Объединяя условия, получаем \[ x > 3 \]

Решение неравенства:

1. \[ \log_3{x} - 2\log_3{(x-3)} > 0 \]
2. \[ \log_3{x} > 2\log_3{(x-3)} \]
3. \[ \log_3{x} > \log_3{(x-3)^2} \]
4. Так как основание логарифма (3) больше 1, функция возрастающая, следовательно, можно перейти к сравнению аргументов:
5. \[ x > (x-3)^2 \]
6. \[ x > x^2 - 6x + 9 \]
7. \[ 0 > x^2 - 7x + 9 \]
8. \[ x^2 - 7x + 9 < 0 \]
9. Найдем корни квадратного уравнения \[ x^2 - 7x + 9 = 0 \]:
10. \[ D = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = 49 - 36 = 13 \]
11. \[ x_{1,2} = \frac{7 \pm \sqrt{13}}{2} \]
12. \[ x_1 = \frac{7 - \sqrt{13}}{2} \approx \frac{7 - 3.6}{2} = \frac{3.4}{2} = 1.7 \]
13. \[ x_2 = \frac{7 + \sqrt{13}}{2} \approx \frac{7 + 3.6}{2} = \frac{10.6}{2} = 5.3 \]
14. Парабола \[ y = x^2 - 7x + 9 \] направлена ветвями вверх, поэтому неравенство \[ x^2 - 7x + 9 < 0 \] выполняется при \[ \frac{7 - \sqrt{13}}{2} < x < \frac{7 + \sqrt{13}}{2} \]
15. Учитывая ОДЗ \[ x > 3 \], объединяем условия:
16. \[ 3 < x < \frac{7 + \sqrt{13}}{2} \]
17. \[ \frac{7 + \sqrt{13}}{2} \approx 5.3 \]
18. Таким образом, решение неравенства: \[ 3 < x < \frac{7 + \sqrt{13}}{2} \]

Наименьшее целое число, входящее в решение:

• Наименьшее целое число, которое больше 3, это 4.

Количество целых чисел из отрезка [0; 30), входящих в решение:

• Целые числа, удовлетворяющие \[ 3 < x < \frac{7 + \sqrt{13}}{2} \] и \[ x \in [0; 30) \] — это числа 4 и 5.
• Количество таких чисел равно 2.

Ответ: Наименьшее целое число: 4. Количество целых чисел: 2.