Решите неравенство: log3 x + log3(x - 2) ≤ 1

Решение:

Сначала найдём область допустимых значений (ОДЗ) для данного неравенства. Логарифмы определены только для положительных чисел:

• \( x > 0 \)
• \( x - 2 > 0 \) \( \Rightarrow x > 2 \)

Объединяя оба условия, получаем ОДЗ: \( x > 2 \).

Теперь решим само неравенство, используя свойства логарифмов (сумма логарифмов равна логарифму произведения):

\[ \log_3(x(x-2)) \le 1 \]\[ \log_3(x^2 - 2x) \le 1 \]

Переведём правую часть в логарифм по основанию 3:

\[ \log_3(x^2 - 2x) \le \log_3 3 \]

Поскольку основание логарифма (3) больше 1, при снятии логарифма знак неравенства сохраняется:

\[ x^2 - 2x \le 3 \]\[ x^2 - 2x - 3 \le 0 \]

Решим полученное квадратное неравенство. Найдём корни соответствующего квадратного уравнения \( x^2 - 2x - 3 = 0 \) с помощью дискриминанта:

\[ D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16 \]\[ x_1 = \frac{-(-2) + \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{2 + 4}{2} = 3 \]\[ x_2 = \frac{-(-2) - \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{2 - 4}{2} = -1 \]

Парабола \( y = x^2 - 2x - 3 \) ветвями вверх. Неравенство \( x^2 - 2x - 3 \le 0 \) выполняется для \( x \) между корнями, то есть \( -1 \le x \le 3 \).

Теперь необходимо учесть ОДЗ \( x > 2 \). Пересечением интервалов \( [-1; 3] \) и \( (2; +\infty) \) является интервал \( (2; 3] \).

Ответ: (2; 3].