Решите неравенство: log3x + log3(x - 2) ≤ 1

Решение:

1. Определим область допустимых значений (ОДЗ):
• \( x > 0 \)
• \( x - 2 > 0 \) \(\Rightarrow\) \( x > 2 \)
• Объединяя условия, получаем ОДЗ: \( x > 2 \).
2. Применим свойство логарифмов \( \log_a b + \log_a c = \log_a (b \cdot c) \):
• \( \log_3 (x(x - 2)) \le 1 \)
3. Представим 1 как логарифм по основанию 3: \( 1 = \log_3 3 \).
4. Получим неравенство:
• \( \log_3 (x^2 - 2x) \le \log_3 3 \)
5. Так как основание логарифма \( 3 > 1 \), функция \( y = \log_3 x \) возрастающая. Следовательно, можно перейти к сравнению аргументов:
• \( x^2 - 2x \le 3 \)
• \( x^2 - 2x - 3 \le 0 \)
6. Решим квадратное неравенство. Найдем корни уравнения \( x^2 - 2x - 3 = 0 \):
• \( D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16 \)
• \( x_1 = \frac{2 + \sqrt{16}}{2} = \frac{2 + 4}{2} = 3 \)
• \( x_2 = \frac{2 - \sqrt{16}}{2} = \frac{2 - 4}{2} = -1 \)
• Парабола \( y = x^2 - 2x - 3 \) ветвями вверх, поэтому \( x^2 - 2x - 3 \le 0 \) при \( -1 \le x \le 3 \).
7. Учтем ОДЗ \( x > 2 \). Пересекая интервалы \( [-1; 3] \) и \( (2; +\infty) \), получаем:
• \( 2 < x \le 3 \).

Ответ: [2; 3]