Решите неравенство log4g(x + 4) + log(x²+8x+16) √7<- 3 4

Привет! Давай разберемся с этим логарифмическим неравенством. Оно выглядит немного страшно, но на самом деле всё решаемо, если идти шаг за шагом.

Шаг 1: Определим область допустимых значений (ОДЗ).

Чтобы логарифмы существовали, аргументы должны быть больше нуля:

1. \[ x + 4 > 0 \] это значит\[ x > -4 \]
2. \[ x^2 + 8x + 16 > 0 \] заметим, что это квадрат суммы:\[ (x+4)^2 > 0 \] это неравенство верно для всех x, кроме x = -4.

Объединяя оба условия, получаем, что ОДЗ:
x > -4.

Шаг 2: Преобразуем неравенство.

У нас есть сумма логарифмов с одинаковым основанием 49. Вспомним свойство логарифмов:
log_b(M) + log_b(N) = log_b(M*N).

Применим это свойство:

\[ \log_{49}((x+4)(x^2+8x+16)) \cdot \sqrt{7} \le -\frac{3}{4} \]

Теперь заметим, что
x^2 + 8x + 16 = (x+4)^2.

\[ \log_{49}((x+4)(x+4)^2) \cdot \sqrt{7} \le -\frac{3}{4} \]

\[ \log_{49}((x+4)^3) \cdot \sqrt{7} \le -\frac{3}{4} \]

Вынесем показатель степени из логарифма:

\[ 3 \log_{49}(x+4) \cdot \sqrt{7} \le -\frac{3}{4} \]

Разделим обе части на 3:

\[ \log_{49}(x+4) \cdot \sqrt{7} \le -\frac{1}{4} \]

Разделим обе части на
√7:

\[ \log_{49}(x+4) \le -\frac{1}{4\sqrt{7}} \]

Шаг 3: Избавимся от логарифма.

Основание логарифма
49 > 1, поэтому при снятии логарифма знак неравенства сохраняется. Вспомним, что
49 = 7^2.

\[ x+4 \le 49^{-\frac{1}{4\sqrt{7}}} \]

Упростим показатель степени:

\[ 49^{-\frac{1}{4\sqrt{7}}} = (7^2)^{-\frac{1}{4\sqrt{7}}} = 7^{2 \cdot (-\frac{1}{4\sqrt{7}})} = 7^{-\frac{1}{2\sqrt{7}}} \]

Теперь наше неравенство выглядит так:

\[ x+4 \le 7^{-\frac{1}{2\sqrt{7}}} \]

Вычтем 4 из обеих частей:

\[ x \le 7^{-\frac{1}{2\sqrt{7}}} - 4 \]

Шаг 4: Учтем ОДЗ.

Мы получили, что
x ≤ 7^{-\(\frac{1}{2√7}\)} - 4. Но по ОДЗ
x > -4.

Так как
7^{-\(\frac{1}{2√7}\)} — это положительное число, то
7^{-\(\frac{1}{2√7}\)} - 4 будет больше, чем -4.

Поэтому решение неравенства:

\[ -4 < x \le 7^{-\frac{1}{2\sqrt{7}}} - 4 \]

Ответ:
(-4; 7^{-\(\frac{1}{2√7}\)} - 4]