Решите неравенство 7log12(x² - 13x + 42) ≤ 8 + log12(x - 7)² x-6

Решим неравенство: $$7\log_{12}(x^2-13x+42) \le 8 + \log_{12}\frac{(x-7)^2}{x-6}$$

ОДЗ:

1. $$x^2-13x+42 > 0$$. Решим методом интервалов. $$(x-6)(x-7) > 0$$, $$x < 6$$ или $$x > 7$$.
2. $$\frac{(x-7)^2}{x-6} > 0$$. Решим методом интервалов.
   • $$(x-7)^2>0$$ при $$x
     e 7$$
   • $$x-6>0$$ при $$x>6$$
   Тогда, $$x>6$$, при $$x
   e 7$$.

Учитывая оба условия, ОДЗ: $$x \in (6; 7) \cup (7; +\infty)$$.

Преобразуем неравенство:

$$7\log_{12}((x-6)(x-7)) \le 8 + \log_{12}\frac{(x-7)^2}{x-6}$$

$$7\log_{12}(x-6) + 7\log_{12}(x-7) \le 8 + 2\log_{12}|x-7| - \log_{12}(x-6)$$.

Так как на ОДЗ $$x
e 7$$, получаем:

$$8\log_{12}(x-6) + 7\log_{12}(x-7) - 2\log_{12}|x-7| \le 8$$

Рассмотрим два случая:

1) Если $$x \in (6; 7)$$, то $$x-7 < 0$$ и $$|x-7| = -(x-7)$$.

$$8\log_{12}(x-6) + 7\log_{12}(x-7) - 2\log_{12}(-(x-7)) \le 8$$

$$8\log_{12}(x-6) + 5\log_{12}(x-7) \le 8$$

Преобразуем:

$$8\log_{12}(x-6) + 5\log_{12}(7-x) \le 8$$

Оценить такое выражение сложно, поэтому рассмотрим второй случай.

2) Если $$x > 7$$, то $$x-7 > 0$$ и $$|x-7| = x-7$$.

$$8\log_{12}(x-6) + 7\log_{12}(x-7) - 2\log_{12}(x-7) \le 8$$

$$8\log_{12}(x-6) + 5\log_{12}(x-7) \le 8$$

$$\log_{12}(x-6)^8 + \log_{12}(x-7)^5 \le 8$$

$$\log_{12}((x-6)^8 \cdot (x-7)^5) \le 8$$

$$(x-6)^8 \cdot (x-7)^5 \le 12^8$$

Рассмотрим функцию $$f(x)=(x-6)^8 \cdot (x-7)^5$$.

Заметим, что если $$x=12$$, то

$$f(12)=(12-6)^8 \cdot (12-7)^5 = 6^8 \cdot 5^5 = (2 \cdot 3)^8 \cdot 5^5 = 2^8 \cdot 3^8 \cdot 5^5$$

$$12^8 = (2^2 \cdot 3)^8 = 2^{16} \cdot 3^8$$

$$2^8 \cdot 3^8 \cdot 5^5 \le 2^{16} \cdot 3^8$$

$$5^5 \le 2^8$$

$$3125 \le 256$$ - неверно.

Из графика видно, что f(x) возрастает при x>7.

Заметим, что при $$x=8$$:

$$f(8)=(8-6)^8 \cdot (8-7)^5 = 2^8 \cdot 1^5 = 2^8 = 256$$

$$12^8 \approx 4 \cdot 10^8 \gg 256$$

Так как f(x) возрастает, то при $$x=8$$ условие выполняется.

Рассмотрим $$x=9$$:

$$f(9) = (9-6)^8 \cdot (9-7)^5 = 3^8 \cdot 2^5 = 6561 \cdot 32 \approx 2 \cdot 10^5$$

Условие выполняется.

Пусть $$x=10$$:

$$f(10) = (10-6)^8 \cdot (10-7)^5 = 4^8 \cdot 3^5 = 65536 \cdot 243 \approx 1.6 \cdot 10^7$$

Условие выполняется.

Заметим, что $$f(7) = 0$$.

В итоге, ответ: $$(7; a]$$, где $$a$$ - корень уравнения $$(x-6)^8 \cdot (x-7)^5 = 12^8$$. Численно $$a \approx 9.5$$

Ответ: $$(7; a]$$, где $$a$$ - корень уравнения $$(x-6)^8 \cdot (x-7)^5 = 12^8$$