Решите неравенство logx²+x (x²-2x+1) ≤ 1.

Решение:

• Шаг 1: ОДЗ (Область допустимых значений)

Определим ОДЗ для данного неравенства. Основание логарифма должно быть положительным и не равным 1, а подлогарифмическое выражение должно быть положительным:

• \( x^2 + x > 0 \)
• \( x^2 + x
  eq 1 \)
• \( x^2 - 2x + 1 > 0 \)
• Шаг 2: Решение неравенства для основания

Решим неравенство \( x^2 + x > 0 \):

• \( x(x + 1) > 0 \)
• Корни: \( x = 0 \) и \( x = -1 \)
• Интервалы: \( (-\infty, -1) \) и \( (0, \infty) \)

Решим уравнение \( x^2 + x = 1 \):

• \( x^2 + x - 1 = 0 \)
• \( x = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2} \)
• Шаг 3: Решение неравенства для подлогарифмического выражения

Решим неравенство \( x^2 - 2x + 1 > 0 \):

• \( (x - 1)^2 > 0 \)
• \( x
  eq 1 \)
• Шаг 4: Преобразование неравенства

Преобразуем исходное неравенство:

\[\log_{x^2+x} (x^2 - 2x + 1) \le 1\] \[\log_{x^2+x} (x - 1)^2 \le 1\]

Рассмотрим два случая: \( x^2 + x > 1 \) и \( 0 < x^2 + x < 1 \).

• Шаг 5: Случай 1: \( x^2 + x > 1 \)

Если \( x^2 + x > 1 \), то неравенство принимает вид:

\[(x - 1)^2 \le x^2 + x\] \[x^2 - 2x + 1 \le x^2 + x\] \[-3x \le -1\] \[x \ge \frac{1}{3}\]

Учитывая, что \( x^2 + x > 1 \), получаем \( x > \frac{-1 + \sqrt{5}}{2} \approx 0.618 \).

Следовательно, \( x \ge 1 \)

• Шаг 6: Случай 2: \( 0 < x^2 + x < 1 \)

Если \( 0 < x^2 + x < 1 \), то неравенство принимает вид:

\[(x - 1)^2 \ge x^2 + x\] \[x^2 - 2x + 1 \ge x^2 + x\] \[-3x \ge -1\] \[x \le \frac{1}{3}\]

Учитывая, что \( 0 < x^2 + x < 1 \), это условие не выполняется.

• Шаг 7: Объединение решений и учет ОДЗ

Учитывая все условия, получаем:

• \( x > 0 \)
• \( x
  eq 1 \)
• \( x \ge \frac{1}{3} \)

Таким образом, окончательное решение:

\[x > 1\]