Решите неравенство log1 3x-1 1. 3 x+2

Пошаговое решение:

Исходное неравенство: \[ \log_{\frac{1}{3}} \frac{3x-1}{x+2} < 1 \]

Так как основание логарифма \(\frac{1}{3}\) меньше 1, то знак неравенства меняется при потенцировании: \[ \frac{3x-1}{x+2} > \frac{1}{3} \]

• Переносим \(\frac{1}{3}\) в левую часть: \[ \frac{3x-1}{x+2} - \frac{1}{3} > 0 \]
• Приводим к общему знаменателю: \[ \frac{3(3x-1)-(x+2)}{3(x+2)} > 0 \] \[ \frac{9x-3-x-2}{3(x+2)} > 0 \] \[ \frac{8x-5}{3(x+2)} > 0 \]

Решаем методом интервалов: \[ \frac{8x-5}{x+2} > 0 \]

• Находим нули числителя и знаменателя: \(8x - 5 = 0\) => \(x = \frac{5}{8}\). \(x + 2 = 0\) => \(x = -2\).

Определяем знаки на интервалах: \((-\infty; -2), (-2; \frac{5}{8}), (\frac{5}{8}; +\infty)\).

Функция положительна на интервалах: \((-\infty; -2)\) и \((\frac{5}{8}; +\infty)\).

Также учитываем ОДЗ логарифма: \[ \frac{3x-1}{x+2} > 0 \]

• Нули числителя и знаменателя: \(3x - 1 = 0\) => \(x = \frac{1}{3}\). \(x + 2 = 0\) => \(x = -2\).

Функция положительна на интервалах: \((-\infty; -2)\) и \((\frac{1}{3}; +\infty)\).

Пересечение решений \(\frac{8x-5}{x+2} > 0\) и ОДЗ даёт: \[ (-\infty; -2) \cup (\frac{5}{8}; +\infty) \]

Ответ: (-∞; -2) ∪ (5/8; +∞)