4. Решите неравенство методом интервалов: a) (x - 1)(x+2)>0; 6) 2-x ≥0. x+3

a)

Решим неравенство $$(x - 1)(x + 2) > 0$$ методом интервалов.

Найдем нули функции:

$$x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1$$, $$x + 2 = 0 \Rightarrow x = -2$$.

Интервалы:

$$(-\infty; -2), (-2; 1), (1; +\infty)$$.

Определим знаки на каждом интервале:

• $$(-\infty; -2)$$: выберем $$x = -3$$, тогда $$(-3 - 1)(-3 + 2) = (-4)(-1) = 4 > 0$$.
• $$(-2; 1)$$: выберем $$x = 0$$, тогда $$(0 - 1)(0 + 2) = (-1)(2) = -2 < 0$$.
• $$(1; +\infty)$$: выберем $$x = 2$$, тогда $$(2 - 1)(2 + 2) = (1)(4) = 4 > 0$$.

Решением неравенства являются интервалы, где функция больше нуля:

$$x \in (-\infty; -2) \cup (1; +\infty)$$.

Ответ: $$(-\infty; -2) \cup (1; +\infty)$$

б)

Решим неравенство $$\frac{2-x}{x+3} \ge 0$$ методом интервалов.

Найдем нули числителя и знаменателя:

$$2 - x = 0 \Rightarrow x = 2$$, $$x + 3 = 0 \Rightarrow x = -3$$.

Интервалы:

$$(-\infty; -3), (-3; 2], (2; +\infty)$$.

Определим знаки на каждом интервале:

• $$(-\infty; -3)$$: выберем $$x = -4$$, тогда $$\frac{2 - (-4)}{-4 + 3} = \frac{6}{-1} = -6 < 0$$.
• $$(-3; 2]$$: выберем $$x = 0$$, тогда $$\frac{2 - 0}{0 + 3} = \frac{2}{3} > 0$$.
• $$(2; +\infty)$$: выберем $$x = 3$$, тогда $$\frac{2 - 3}{3 + 3} = \frac{-1}{6} < 0$$.

Решением неравенства является интервал, где функция больше или равна нулю:

$$x \in (-3; 2]$$.

Ответ: (-3; 2]