1. Решите неравенство методом интервалов: a) (5x-2)(x+6) > 0; b) (x-0,3)(6x-1)(5-2x)>0; c) (2x-7)(x+6)(4-x) ≤0; d) x2(x+3)(3-2x)>0; e) x(2x-15)(x-6)² <0;

Решение неравенств методом интервалов:

а) $$(5x-2)(x+6) > 0$$

Найдем нули функции: $$5x-2=0$$ или $$x+6=0$$

$$5x=2$$ или $$x=-6$$

$$x=\frac{2}{5}=0.4$$ или $$x=-6$$

Отметим найденные точки на числовой прямой и определим знаки на каждом интервале:

      +          -          +
----(-6)-----(0.4)-----> x

Выбираем интервалы, где функция больше нуля.

Ответ: $$x \in (-\infty; -6) \cup (0.4; +\infty)$$.

---

b) $$(x-0.3)(6x-1)(5-2x)>0$$

Найдем нули функции: $$x-0.3=0$$ или $$6x-1=0$$ или $$5-2x=0$$

$$x=0.3$$ или $$6x=1$$ или $$2x=5$$

$$x=0.3$$ или $$x=\frac{1}{6} \approx 0.167$$ или $$x=\frac{5}{2}=2.5$$

Отметим найденные точки на числовой прямой и определим знаки на каждом интервале. Учтем, что перед $$2x$$ стоит знак минус, поэтому знаки меняются на противоположные:

    -       +        -        +
---(1/6)--(0.3)----(2.5)----> x

Выбираем интервалы, где функция больше нуля.

Ответ: $$x \in (\frac{1}{6}; 0.3) \cup (2.5; +\infty)$$.

---

c) $$(2x-7)(x+6)(4-x) \le 0$$

Найдем нули функции: $$2x-7=0$$ или $$x+6=0$$ или $$4-x=0$$

$$2x=7$$ или $$x=-6$$ или $$x=4$$

$$x=\frac{7}{2}=3.5$$ или $$x=-6$$ или $$x=4$$

Отметим найденные точки на числовой прямой и определим знаки на каждом интервале. Учтем, что перед $$x$$ в скобке $$(4-x)$$ стоит знак минус, поэтому знаки меняются на противоположные:

   +      -        +        -
---(-6)---(3.5)----(4)-----> x

Выбираем интервалы, где функция меньше или равна нулю.

Ответ: $$x \in [-6; 3.5] \cup [4; +\infty)$$.

---

d) $$x^2(x+3)(3-2x)>0$$

Найдем нули функции: $$x^2=0$$ или $$x+3=0$$ или $$3-2x=0$$

$$x=0$$ или $$x=-3$$ или $$2x=3$$

$$x=0$$ или $$x=-3$$ или $$x=\frac{3}{2}=1.5$$

Отметим найденные точки на числовой прямой и определим знаки на каждом интервале. Учтем, что перед $$2x$$ стоит знак минус, поэтому знаки меняются на противоположные. Т.к. $$x^2$$ всегда неотрицательно, в окрестности нуля знак не меняется.

  -        +        +        -
---(-3)----(0)----(1.5)----> x

Выбираем интервалы, где функция больше нуля.

Ответ: $$x \in (-3; 0) \cup (0; 1.5)$$.

---

e) $$x(2x-15)(x-6)^2 <0$$

Найдем нули функции: $$x=0$$ или $$2x-15=0$$ или $$(x-6)^2=0$$

$$x=0$$ или $$2x=15$$ или $$x=6$$

$$x=0$$ или $$x=\frac{15}{2}=7.5$$ или $$x=6$$

Отметим найденные точки на числовой прямой и определим знаки на каждом интервале. Т.к. $$(x-6)^2$$ всегда неотрицательно, в окрестности 6 знак не меняется.

  +         -         -         +
---(0)----(7.5)----(6)----> x

Выбираем интервалы, где функция меньше нуля.

Ответ: $$x \in (0; 6) \cup (6; 7.5)$$.