Решите неравенство методом интервалов: (x+7) (9x2-12x+4) < 0. 8x²+2x-1

Пошаговое решение:

• Шаг 1: Преобразуем и упростим неравенство:

  Заметим, что числитель можно представить как: \[(x+7)(9x^2 - 12x + 4) = (x+7)(3x-2)^2\] Знаменатель можно разложить на множители: \[8x^2 + 2x - 1 = (4x-1)(2x+1)\]

  Тогда неравенство принимает вид: \[\frac{(x+7)(3x-2)^2}{(4x-1)(2x+1)} \le 0\]

• Шаг 2: Найдем нули числителя и знаменателя:
  • Числитель: \[(x+7)(3x-2)^2 = 0\] Отсюда: \[x = -7, \quad x = \frac{2}{3}\]
  • Знаменатель: \[(4x-1)(2x+1) = 0\] Отсюда: \[x = \frac{1}{4}, \quad x = -\frac{1}{2}\]
• Шаг 3: Определим знаки на интервалах:

  Отметим точки на числовой прямой: \[-7, -\frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{2}{3}\] Так как \[(3x-2)^2 \ge 0\] всегда, кроме точки \[x = \frac{2}{3}\] , этот множитель не влияет на знак, но важно исключить эту точку из решения, если она не является решением.

  +      +     -     +     -
  ------(-7)----(-1/2)----(1/4)----(2/3)-------
     

  Рассмотрим интервалы:

  • \[x < -7\]: Знак "-"
  • \[-7 < x < -\frac{1}{2}\]: Знак "+"
  • \[-\frac{1}{2} < x < \frac{1}{4}\]: Знак "-"
  • \[x > \frac{1}{4}\]: Знак "+"

• Шаг 4: Запишем решение:

  Неравенство \[\frac{(x+7)(3x-2)^2}{(4x-1)(2x+1)} \le 0\] выполняется, когда выражение меньше или равно нулю. Включаем нули числителя в решение, кроме тех, что делают знаменатель равным нулю. Таким образом, \[x \in (-\infty, -7] \cup (-\frac{1}{2}, \frac{1}{4}) \cup \{ \frac{2}{3} \}\]

Ответ: \[x \in (-\infty, -7] \cup (-\frac{1}{2}, \frac{1}{4}) \cup \{ \frac{2}{3} \}\]