Решите неравенство: Решение распишите подробно. log₃ x > 4 logₓ 3 - 3

Шаг 1: Преобразуем неравенство, используя свойства логарифмов. Заметим, что logₓ 3 = 1 / log₃ x. Введем замену y = log₃ x. Тогда неравенство примет вид: y > 4/y - 3.

Шаг 2: Решим полученное рациональное неравенство. Перенесем все члены в одну сторону: y - 4/y + 3 > 0. Приведем к общему знаменателю: (y² + 3y - 4) / y > 0. Разложим числитель на множители: (y+4)(y-1)/y > 0.

Шаг 3: Определим знаки интервалов. Корни числителя: y = -4, y = 1. Корень знаменателя: y = 0. Интервалы: (-∞, -4), (-4, 0), (0, 1), (1, ∞). Неравенство выполняется при y ∈ (-4, 0) ∪ (1, ∞).

Шаг 4: Вернемся к исходной переменной x. Учитывая, что y = log₃ x, получаем: -4 < log₃ x < 0 или log₃ x > 1.

Шаг 5: Решим полученные логарифмические неравенства. Из -4 < log₃ x < 0 следует 3⁻⁴ < x < 3⁰, то есть 1/81 < x < 1. Из log₃ x > 1 следует x > 3¹ = 3. Объединяя решения, получаем x ∈ (1/81, 1) ∪ (3, ∞).