Решите неравенство sin² x - cos²x - 3 sin x + 2 < 0

Решение:

Исходное неравенство: \( \sin^2 x - \cos^2 x - 3 \sin x + 2 < 0 \)

1. Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: \( \cos^2 x = 1 - \sin^2 x \). Подставим его в неравенство:
2. \( \sin^2 x - (1 - \sin^2 x) - 3 \sin x + 2 < 0 \)
3. Раскроем скобки и приведём подобные слагаемые:
4. \( \sin^2 x - 1 + \sin^2 x - 3 \sin x + 2 < 0 \)
5. \( 2\sin^2 x - 3 \sin x + 1 < 0 \)
6. Сделаем замену переменной: пусть \( y = \sin x \). Так как \( -1 \le \sin x \le 1 \), то \( -1 \le y \le 1 \).
7. Получим квадратное неравенство: \( 2y^2 - 3y + 1 < 0 \)
8. Найдем корни соответствующего квадратного уравнения \( 2y^2 - 3y + 1 = 0 \) с помощью дискриминанта:
9. \( D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 9 - 8 = 1 \)
10. \( y_1 = \frac{3 - 1}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \)
11. \( y_2 = \frac{3 + 1}{2 \cdot 2} = \frac{4}{4} = 1 \)
12. Разложим квадратный трёхчлен на множители: \( 2(y - \frac{1}{2})(y - 1) < 0 \)
13. Решим неравенство для \( y \): \( (2y - 1)(y - 1) < 0 \).
14. Интервалы, удовлетворяющие неравенству: \( \frac{1}{2} < y < 1 \)
15. Теперь вернёмся к замене \( y = \sin x \):
16. \( \frac{1}{2} < \sin x < 1 \)
17. Рассмотрим единичную окружность. Значение \( \sin x \) равно \( \frac{1}{2} \) при \( x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k \) и \( x = \\frac{5\pi}{6} + 2\pi k \).
18. Значение \( \sin x \) равно \( 1 \) при \( x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k \).
19. Нас интересует интервал, где \( \sin x \) больше \( \frac{1}{2} \) и меньше \( 1 \).
20. На единичной окружности этому соответствуют промежутки: \( \frac{\pi}{6} < x < \frac{\pi}{2} \) и \( \frac{5\pi}{6} < x < \frac{\pi}{2} + 2\pi \) (это ошибка, должно быть \( \frac{5\pi}{6} < x < \frac{\pi}{2} \) для интервала 0 до \( 2\pi \), но \( \sin x \) на этом отрезке меньше \( \frac{1}{2} \), а значит, этот интервал не подходит).
21. Правильные интервалы на единичной окружности, где \( \frac{1}{2} < \sin x < 1 \):
22. \( \frac{\pi}{6} < x < \frac{\pi}{2} \)
23. \( \frac{\pi}{2} < x < \frac{5\pi}{6} \) (Нет, на этом интервале \( \sin x \) больше \( \frac{1}{2} \) но меньше \( 1 \)).
24. Правильный интервал, где \( \frac{1}{2} < \sin x < 1 \), на единичной окружности (от \( 0 \) до \( 2\pi \)) это:
25. \( \frac{\pi}{6} < x < \frac{5\pi}{6} \) (Нет, \( \sin(\frac{\pi}{2}) = 1 \), что не входит в условие \( \sin x < 1 \)).
26. Рассмотрим ещё раз: \( \frac{1}{2} < \sin x \). На единичной окружности это дуга от \( \frac{\pi}{6} \) до \( \frac{5\pi}{6} \).
27. \( \sin x < 1 \). На единичной окружности это вся окружность, кроме точки \( \frac{\pi}{2} \).
28. Объединяя оба условия: \( \frac{1}{2} < \sin x < 1 \)
29. На интервале \( [0, 2\pi) \): \( \frac{\pi}{6} < x < \frac{\pi}{2} \) и \( \frac{\pi}{2} < x < \frac{5\pi}{6} \).
30. Объединяя эти два интервала: \( \frac{\pi}{6} < x < \frac{5\pi}{6} \).
31. Учитывая периодичность \( 2\pi \), получаем:
32. \( \frac{\pi}{6} + 2\pi k < x < \frac{5\pi}{6} + 2\pi k \)

Проверим варианты ответов:

a. \( \frac{\pi}{3} + \pi k < x < \frac{\pi}{2} + 2\pi k \)

b. \( \frac{\pi}{6} + 2\pi k < x < \frac{\pi}{2} + 2\pi k \)

d. \( \frac{\pi}{3} + 2\pi k < x < \frac{\pi}{2} + 3\pi k \)

Ни один из предложенных вариантов не соответствует полученному решению \( \frac{\pi}{6} + 2\pi k < x < \frac{5\pi}{6} + 2\pi k \).

Ответ: Нет верных ответов.