Решите неравенство \(\sqrt{x^2 - 8x + 17} + |x - 3| + |x - 5| \le 3\).

Решение:

Рассмотрим функцию \( f(x) = \sqrt{x^2 - 8x + 17} + |x - 3| + |x - 5| \).

Сначала упростим подкоренное выражение: \( x^2 - 8x + 17 = (x^2 - 8x + 16) + 1 = (x - 4)^2 + 1 \).

Таким образом, \( f(x) = \sqrt{(x - 4)^2 + 1} + |x - 3| + |x - 5| \).

Заметим, что \( \sqrt{(x - 4)^2 + 1} \) всегда положительно и \( \ge \sqrt{1} = 1 \) (минимум достигается при \( x=4 \)).

Рассмотрим функцию \( g(x) = |x - 3| + |x - 5| \). Это сумма расстояний от \( x \) до 3 и от \( x \) до 5. Минимальное значение этой суммы равно расстоянию между 3 и 5, то есть \( |5 - 3| = 2 \), и достигается при \( 3 \le x \le 5 \).

Теперь исследуем неравенство \( f(x) \le 3 \).

Минимальное значение \( \sqrt{(x - 4)^2 + 1} \) равно 1 при \( x=4 \).

При \( x=4 \), \( g(4) = |4 - 3| + |4 - 5| = |1| + |-1| = 1 + 1 = 2 \).

Следовательно, минимальное значение \( f(x) \) равно \( 1 + 2 = 3 \), и оно достигается при \( x=4 \).

Поскольку минимальное значение функции \( f(x) \) равно 3, то неравенство \( f(x) \le 3 \) выполняется только в случае, когда \( f(x) = 3 \).

Это происходит только при \( x = 4 \).

Проверим, удовлетворяет ли \( x = 4 \) всем условиям:

\( \sqrt{(4 - 4)^2 + 1} + |4 - 3| + |4 - 5| = \sqrt{0 + 1} + |1| + |-1| = 1 + 1 + 1 = 3 \).

Неравенство выполняется.

Ответ: x = 4.