Решите неравенство: (sqrt(x+9)-2)/(sqrt(x-9)+2) > sqrt(x-9)-2.

Question

Вопрос:

Решите неравенство: (sqrt(x+9)-2)/(sqrt(x-9)+2) > sqrt(x-9)-2.

Ответ:

ФИО:Телефон:Емаил:Полное описание сути нарушения прав (почему распространение данной информации запрещено Правообладателем):

Accepted Answer

Решение:

Данное неравенство относится к классу иррациональных неравенств.

Область допустимых значений (ОДЗ):

Подкоренные выражения должны быть неотрицательными:

$$x-9 \ge 0 \Rightarrow x \ge 9$$
$$x+9 \ge 0 \Rightarrow x \ge -9$$

Знаменатель не должен обращаться в ноль:

$$$ \sqrt{x-9}+2
e 0 $$$. Так как $ \sqrt{x-9} \ge 0 $, то $ \sqrt{x-9}+2 \ge 2 $. Следовательно, знаменатель всегда положителен и не равен нулю.

Объединяя условия, получаем ОДЗ: $$x \ge 9$$.

Преобразуем неравенство:

Перенесем все члены в левую часть:

\[ \frac{\sqrt{x+9}-2}{\sqrt{x-9}+2} - (\sqrt{x-9}-2) > 0 \]

Приведем к общему знаменателю:

\[ \frac{\sqrt{x+9}-2 - (\sqrt{x-9}-2)(\sqrt{x-9}+2)}{\sqrt{x-9}+2} > 0 \]

Воспользуемся формулой разности квадратов: $ (a-b)(a+b) = a^2 - b^2 $

\[ \frac{\sqrt{x+9}-2 - (x-9 - 4)}{\sqrt{x-9}+2} > 0 \]

\[ \frac{\sqrt{x+9}-2 - x + 13}{\sqrt{x-9}+2} > 0 \]

\[ \frac{\sqrt{x+9} - x + 11}{\sqrt{x-9}+2} > 0 \]

Так как знаменатель $ \sqrt{x-9}+2 $ всегда положителен ( $\ge 2$ ) при $ x \ge 9 $, то знак неравенства определяется знаком числителя:

\[ \sqrt{x+9} - x + 11 > 0 \]

\[ \sqrt{x+9} > x - 11 \]

Решим неравенство $ \sqrt{x+9} > x - 11 $ методом интервалов или графически.

Случай 1: $ x - 11 < 0 $, то есть $ x < 11 $.
При $ x \ge 9 $ (из ОДЗ) и $ x < 11 $, неравенство $ \sqrt{x+9} > x - 11 $ выполняется, так как левая часть (корень) неотрицательна, а правая отрицательна.
Таким образом, интервал $ [9, 11) $ является частью решения.

Случай 2: $ x - 11 ≥ 0 $, то есть $ x ≥ 11 $.
В этом случае обе части неравенства неотрицательны, и мы можем возвести обе части в квадрат:

\[ (\sqrt{x+9})^2 > (x-11)^2 \]

\[ x+9 > x^2 - 22x + 121 \]

\[ 0 > x^2 - 23x + 112 \]

Найдем корни квадратного уравнения $ x^2 - 23x + 112 = 0 $:

\[ x = \frac{-(-23) \pm \sqrt{(-23)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 112}}{2 \cdot 1} = \frac{23 \pm \sqrt{529 - 448}}{2} = \frac{23 \pm \sqrt{81}}{2} = \frac{23 \pm 9}{2} \]

Корни: $ x_1 = \frac{23 - 9}{2} = \frac{14}{2} = 7 $ и $ x_2 = \frac{23 + 9}{2} = \frac{32}{2} = 16 $.
Квадратный трехчлен $ x^2 - 23x + 112 $ отрицателен между корнями, то есть при $ 7 < x < 16 $.
Учитывая условие $ x ≥ 11 $ для этого случая, пересечение $ (7, 16) $ и $ [11, \infty) $ дает интервал $ [11, 16) $.

Объединяем решения из обоих случаев:

Решение первого случая: $ [9, 11) $
Решение второго случая: $ [11, 16) $
Объединение: $ [9, 11) \cup [11, 16) = [9, 16) $.

Ответ: [9; 16)