Решите неравенство tgx + 3 ctg x – 4 > 0

Решение:

Давайте решим неравенство по шагам:

tgx + 3 ctg x – 4 > 0

Шаг 1: Выразим ctg x через tg x, так как ctg x = 1 / tg x.

tgx + 3 / tg x – 4 > 0

Шаг 2: Приведем к общему знаменателю.

(tg²x – 4tg x + 3) / tg x > 0

Шаг 3: Решим квадратное неравенство относительно tg x. Сначала найдем корни квадратного трехчлена в числителе:

tg²x – 4tg x + 3 = 0

Пусть y = tg x, тогда уравнение примет вид: y² – 4y + 3 = 0

Корни квадратного уравнения: y₁ = 1, y₂ = 3

Таким образом, числитель можно представить как (tg x – 1)(tg x – 3).

Шаг 4: Неравенство принимает вид:

((tg x – 1)(tg x – 3)) / tg x > 0

Шаг 5: Решаем методом интервалов. Найдем значения, при которых числитель или знаменатель равны нулю:

tg x = 0, tg x = 1, tg x = 3

Находим соответствующие значения x:

tg x = 0 ⇒ x = πn, n ∈ Z

tg x = 1 ⇒ x = π/4 + πk, k ∈ Z

tg x = 3 ⇒ x = arctg(3) + πm, m ∈ Z

Шаг 6: Определяем знаки на интервалах, образованных этими точками, учитывая периодичность тангенса.

Рассмотрим интервал (-π/2, π/2) и отметим точки: 0, π/4, arctg(3).

На интервале (-π/2, 0) tg x < 0, значит, и все выражение меньше нуля.

На интервале (0, π/4) tg x > 0, tg x – 1 < 0, tg x – 3 < 0, следовательно, все выражение больше нуля.

На интервале (π/4, arctg(3)) tg x > 0, tg x – 1 > 0, tg x – 3 < 0, следовательно, все выражение меньше нуля.

На интервале (arctg(3), π/2) tg x > 0, tg x – 1 > 0, tg x – 3 > 0, следовательно, все выражение больше нуля.

Шаг 7: Записываем решение, учитывая периодичность функции тангенс.

x ∈ (πn, π/4 + πn) ∪ (arctg(3) + πn, π/2 + πn), n ∈ Z

Ответ: x ∈ (πn; π/4 + πn) ∪ (arctg(3) + πn; π/2 + πn), n ∈ Z