Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
Математика
Ответ:
Решение:
Для решения неравенства \(\frac{5x-x^2-4}{x^2-4x+4} \ge 0\) преобразуем числитель и знаменатель.
- Преобразуем числитель:
- \(5x - x^2 - 4 = -(x^2 - 5x + 4) = -(x-1)(x-4)\)
- Преобразуем знаменатель:
- \(x^2 - 4x + 4 = (x-2)^2\)
- Запишем неравенство в преобразованном виде:
- \(\frac{-(x-1)(x-4)}{(x-2)^2} \ge 0\)
- Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства:
- \(\frac{(x-1)(x-4)}{(x-2)^2} \le 0\)
- Критические точки (корни числителя и знаменателя):
- \(x-1 = 0 \Rightarrow x = 1\)
- \(x-4 = 0 \Rightarrow x = 4\)
- \((x-2)^2 = 0 \Rightarrow x = 2\) (корень знаменателя, \(x \ne 2\))
- Определим знаки интервалов:
Рассмотрим интервалы, образованные критическими точками \(x = 1, x = 2, x = 4\). Знаменатель \((x-2)^2\) всегда положителен (кроме \(x=2\)).
Интервал \((-\infty, 1]\): Возьмём \(x = 0\). \(\frac{(0-1)(0-4)}{(0-2)^2} = \frac{(-1)(-4)}{(-2)^2} = \frac{4}{4} = 1 > 0\). Не подходит.
Интервал \([1, 2)\): Возьмём \(x = 1.5\). \(\frac{(1.5-1)(1.5-4)}{(1.5-2)^2} = \frac{(0.5)(-2.5)}{(-0.5)^2} = \frac{-1.25}{0.25} = -5 \le 0\). Подходит.
Интервал \((2, 4]\): Возьмём \(x = 3\). \(\frac{(3-1)(3-4)}{(3-2)^2} = \frac{(2)(-1)}{(1)^2} = \frac{-2}{1} = -2 \le 0\). Подходит.
Интервал \([4, \infty)\): Возьмём \(x = 5\). \(\frac{(5-1)(5-4)}{(5-2)^2} = \frac{(4)(1)}{(3)^2} = \frac{4}{9} > 0\). Не подходит.
Решением неравенства являются интервалы \([1, 2)\) и \((2, 4]\). Обратите внимание, что \(x=1\) и \(x=4\) входят в решение, а \(x=2\) — нет.
Целые решения:
- Из интервала \([1, 2)\): \(x = 1\).
- Из интервала \((2, 4]\): \(x = 3, x = 4\).
Всего целых решений: \(1, 3, 4\).
Количество целых решений равно 3.
Ответ: 3.
