Контрольные задания
Вопрос:Фото задания: Решите неравенство. В ответе укажите количество целых решений: $$ \frac{7x - 13}{(x^2 - 9x + 18)(x^2 - 8x + 16)} \le…Фото задания

Ответ:

Привет! Давай разберемся с этим неравенством вместе.

Сначала разложим знаменатели на множители:

  • \[ x^2 - 9x + 18 = (x-3)(x-6) \]
  • \[ x^2 - 8x + 16 = (x-4)^2 \]
  • \[ x^2 - 10x + 24 = (x-4)(x-6) \]

Теперь подставим это обратно в неравенство:

\[ \frac{7x - 13}{(x-3)(x-6)(x-4)^2} \le \frac{-1}{(x-4)(x-6)} \]

Перенесем все в одну сторону, чтобы получить нуль справа:

\[ \frac{7x - 13}{(x-3)(x-6)(x-4)^2} + \frac{1}{(x-4)(x-6)} \le 0 \]

Приведем к общему знаменателю \[ (x-3)(x-6)(x-4)^2 \]:

\[ \frac{7x - 13 + (x-3)(x-4)}{(x-3)(x-6)(x-4)^2} \le 0 \]

Раскроем скобки в числителе:

\[ 7x - 13 + (x^2 - 4x - 3x + 12) = 7x - 13 + x^2 - 7x + 12 = x^2 - 1 \]

Теперь неравенство выглядит так:

\[ \frac{x^2 - 1}{(x-3)(x-6)(x-4)^2} \le 0 \]

Разложим числитель \[ x^2 - 1 = (x-1)(x+1) \].

Итоговое неравенство:

\[ \frac{(x-1)(x+1)}{(x-3)(x-6)(x-4)^2} \le 0 \]

Найдем корни числителя и знаменателя:

  • Числитель: \[ x=1, x=-1 \]
  • Знаменатель: \[ x=3, x=6, x=4 \] (корень \[ x=4 \] имеет кратность 2).

Теперь расставим эти корни на числовой прямой и определим знаки интервалов методом пробной точки. Заметим, что \[ (x-4)^2 \] всегда больше нуля (кроме \(x=4\)), поэтому оно не меняет знак неравенства. Точки \[ x=3 \] и \[ x=6 \] — выколотые, так как они в знаменателе.

Рассмотрим интервалы:

  • \[ x < -1 \]: Возьмем \(x=-2\). \(\frac{(-)(-)}{(-)(-)(+)} = \frac{+}{+} = + \)
  • \[ -1 < x < 1 \]: Возьмем \(x=0\). \(\frac{(-)(+)}{(-)(-)(+)} = \frac{-}{+} = - \)
  • \[ 1 < x < 3 \]: Возьмем \(x=2\). \(\frac{(+)(+)}{(-)(-)(+)} = \frac{+}{+} = + \)
  • \[ 3 < x < 4 \]: Возьмем \(x=3.5\). \(\frac{(+)(+)}{(+)(-)(+)} = \frac{+}{-} = - \)
  • \[ 4 < x < 6 \]: Возьмем \(x=5\). \(\frac{(+)(+)}{(+)(+)(+)} = \frac{+}{+} = + \)
  • \[ x > 6 \]: Возьмем \(x=7\). \(\frac{(+)(+)}{(+)(+)(+)} = \frac{+}{+} = + \)

Нас интересуют интервалы, где выражение меньше или равно нулю. Это:

\[ [-1; 1] \] (включая -1 и 1) и \[ (3; 4) \) и \[ (4; 6) \] (не включая 3, 4, 6).

Объединяем эти интервалы: \[ [-1; 1] \cup (3; 4) \cup (4; 6) \].

Теперь найдем целые решения:

  • Из \[ [-1; 1] \] целые: \[ -1, 0, 1 \]
  • Из \[ (3; 4) \] целых нет.
  • Из \[ (4; 6) \] целое: \[ 5 \]

Всего целых решений: -1, 0, 1, 5. Их количество — 4.

Ответ: 4