Решите неравенство. В ответе укажите количество целых решений: \(\frac{(x-2)^3(x+5)}{(x+3)^2} \le 0\)

Решение:

Для решения неравенства \(\frac{(x-2)^3(x+5)}{(x+3)^2} \le 0\) найдём корни числителя и знаменателя.

1. Корни числителя:
• \((x-2)^3 = 0 \Rightarrow x = 2\) (корень нечётной кратности)
• \((x+5) = 0 \Rightarrow x = -5\) (корень нечётной кратности)
2. Корень знаменателя:
• \((x+3)^2 = 0 \Rightarrow x = -3\) (корень чётной кратности, знаменатель не может быть равен нулю)
3. Определим знаки интервалов:

Рассмотрим интервалы, образованные критическими точками \(x = -5, x = -3, x = 2\).

Интервал \((-\infty, -5]\): Возьмём \(x = -6\). \(\frac{(-6-2)^3(-6+5)}{(-6+3)^2} = \frac{(-8)^3(-1)}{(-3)^2} = \frac{(-512)(-1)}{9} = \frac{512}{9} > 0\).

Интервал \([-5, -3)\): Возьмём \(x = -4\). \(\frac{(-4-2)^3(-4+5)}{(-4+3)^2} = \frac{(-6)^3(1)}{(-1)^2} = \frac{-216}{1} = -216 \le 0\).

Интервал \((-3, 2]\): Возьмём \(x = 0\). \(\frac{(0-2)^3(0+5)}{(0+3)^2} = \frac{(-2)^3(5)}{(3)^2} = \frac{-8 \times 5}{9} = \frac{-40}{9} \le 0\).

Интервал \([2, \infty)\): Возьмём \(x = 3\). \(\frac{(3-2)^3(3+5)}{(3+3)^2} = \frac{(1)^3(8)}{(6)^2} = \frac{1 \times 8}{36} = \frac{8}{36} > 0\).

Учитываем, что \(x \ne -3\) и \(x \le 0\) или \(x \ge 2\).

Решением неравенства являются интервалы \([-5, -3)\) и \((-3, 2]\).

Целые решения:

• Из интервала \([-5, -3)\): \(-5, -4\).
• Из интервала \((-3, 2]\): \(-2, -1, 0, 1, 2\).

Всего целых решений: \(-5, -4, -2, -1, 0, 1, 2\).

Количество целых решений равно 7.

Ответ: 7.