Решите неравенство. В ответе укажите количество целых решений: \((\log_3^2 x-2)^2+3\le6\log_3^2 x\).

Область определения: \(x>0\). Обозначим \(y=\log_3^2x\), тогда \(y\ge0\).

\[(y-2)^2+3\le6y\]

\[y^2-10y+7\le0\]

Корни квадратного трёхчлена: \(y_1=5-3\sqrt2\), \(y_2=5+3\sqrt2\). Поэтому

\[5-3\sqrt2\le(\log_3x)^2\le5+3\sqrt2.\]

Для целых положительных \(x\) это выполняется при \(3\le x\le29\). Количество целых чисел:

\[29-3+1=27.\]

Ответ: 27