Решите неравенство. В ответе укажите количество целых решений: (log_3(x) - 2)^2 + 5 <= 6 log_3(x)

Решение:

Пусть \( y = \log_3 x \). Тогда неравенство примет вид:

\[ (y - 2)^2 + 5 \le 6y \]

Раскроем скобки:

\[ y^2 - 4y + 4 + 5 \le 6y \]

Перенесём все члены в одну сторону:

\[ y^2 - 4y - 6y + 9 \le 0 \]

Упростим:

\[ y^2 - 10y + 9 \le 0 \]

Найдем корни квадратного уравнения \( y^2 - 10y + 9 = 0 \).

Используя теорему Виета, корни: \( y_1 = 1 \) и \( y_2 = 9 \).

Таким образом, неравенство \( y^2 - 10y + 9 \le 0 \) выполняется при \( 1 \le y \le 9 \).

Теперь вернёмся к замене \( y = \log_3 x \):

\[ 1 \le \log_3 x \le 9 \]

Потенцируем основание 3:

\[ 3^1 \le x \le 3^9 \]

\( 3 \le x \le 19683 \).

Также необходимо учесть условие для логарифма: \( x > 0 \).

Наше решение \( 3 \le x \le 19683 \) уже удовлетворяет этому условию.

Теперь найдём количество целых решений. Целые числа в интервале \( [3, 19683] \) включают 3 и 19683.

Количество целых решений равно \( 19683 - 3 + 1 = 19681 \).

Ответ: 19681