Решите неравенство. В ответе укажите наименьшее целое решение: 1 / (6^x + 7) <= 5 / (6^(x+1) - 1)

Решение:

Перенесём всё в одну сторону:

\[ \frac{1}{6^x + 7} - \frac{5}{6^{x+1} - 1} \le 0 \]

Приведём к общему знаменателю:

\[ \frac{6^{x+1} - 1 - 5(6^x + 7)}{(6^x + 7)(6^{x+1} - 1)} \le 0 \]

Раскроем скобки в числителе:

\[ \frac{6 \cdot 6^x - 1 - 5 \cdot 6^x - 35}{(6^x + 7)(6^{x+1} - 1)} \le 0 \]

Упростим числитель:

\[ \frac{6^x - 36}{(6^x + 7)(6^{x+1} - 1)} \le 0 \]

Рассмотрим знаки числителя и знаменателя:

1. Числитель: \( 6^x - 36 \ge 0 \) => \( 6^x \ge 36 \) => \( x \ge 2 \).

2. Знаменатель:

• \( 6^x + 7 > 0 \) всегда, так как \( 6^x > 0 \).
• \( 6^{x+1} - 1 > 0 \) => \( 6^{x+1} > 1 \) => \( x+1 > 0 \) => \( x > -1 \).

Теперь составим неравенство, учитывая знаки:

Так как \( 6^x+7 \) всегда положительно, знак всего выражения зависит от знака \( 6^x - 36 \) и \( 6^{x+1} - 1 \).

У нас есть два случая для выполнения условия \( \frac{6^x - 36}{(6^x + 7)(6^{x+1} - 1)} \le 0 \):

Случай 1: \( 6^x - 36 \le 0 \) и \( (6^x + 7)(6^{x+1} - 1) > 0 \).

• \( 6^x - 36 \le 0 \) => \( 6^x \le 36 \) => \( x \le 2 \).
• \( 6^{x+1} - 1 > 0 \) => \( x > -1 \).

Объединяя эти условия, получаем: \( -1 < x \le 2 \).

Случай 2: \( 6^x - 36 \ge 0 \) и \( (6^x + 7)(6^{x+1} - 1) < 0 \).

• \( 6^x - 36 \ge 0 \) => \( x \ge 2 \).
• \( 6^{x+1} - 1 < 0 \) => \( x < -1 \).

Эти условия противоречат друг другу ( \( x \ge 2 \) и \( x < -1 \) ), поэтому этот случай невозможен.

Таким образом, решением неравенства является интервал \( (-1, 2] \).

Наименьшее целое решение в этом интервале — это 0.

Ответ: 0