Решите неравенство $$(x^2 - 4x) \log_2 x + \log_2 x^3 \leq 0$$. Выберите все верные промежутки.

Решим логарифмическое неравенство:

$$(x^2 - 4x) \log_2 x + \log_2 x^3 \leq 0$$

Преобразуем второе слагаемое, используя свойство логарифма:

$$\log_2 x^3 = 3\log_2 x$$

Тогда неравенство примет вид:

$$(x^2 - 4x) \log_2 x + 3\log_2 x \leq 0$$

Вынесем общий множитель за скобки:

$$\log_2 x (x^2 - 4x + 3) \leq 0$$

Решим квадратное уравнение в скобках:

$$x^2 - 4x + 3 = 0$$

По теореме Виета найдем корни уравнения:

$$x_1 = 1, x_2 = 3$$

Тогда неравенство можно переписать в виде:

$$\log_2 x (x - 1)(x - 3) \leq 0$$

Определим ОДЗ:

$$x > 0$$

Рассмотрим функцию $$f(x) = \log_2 x (x - 1)(x - 3)$$. Найдем нули функции:

$$\log_2 x = 0 \Rightarrow x = 1$$

$$x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1$$

$$x - 3 = 0 \Rightarrow x = 3$$

Нули функции: $$x = 1, x = 3$$. Добавим точку, в которой логарифм равен нулю: x = 1.

Рассмотрим числовую прямую с учетом ОДЗ и нулей функции:

     +       -       +       -
0----(0)----1----(1)----3----(3)-----> x

Определим знаки функции на каждом интервале:

• $$(0; 1)$$: $$\log_2(0.5) (0.5 - 1)(0.5 - 3) = (-) (-) (-) = (-)$$
• $$(1; 3)$$: $$\log_2(2) (2 - 1)(2 - 3) = (+) (+) (-) = (-)$$
• $$(3; +\infty)$$: $$\log_2(4) (4 - 1)(4 - 3) = (+) (+) (+) = (+)$$

Выберем интервалы, где функция меньше или равна нулю:

$$(0; 1] \cup [3; +\infty)$$

Сравним полученные промежутки с предложенными вариантами ответов.

• (0; +∞) - не подходит, так как включает интервал (1; 3), где неравенство не выполняется.
• [-3; 0) - не подходит, так как не входит в ОДЗ.
• [3; +∞) - подходит.
• (-∞; 1] - не подходит, так как включает отрицательные значения.
• (-∞; 3] - не подходит, так как включает отрицательные значения.
• (0; 3] - не подходит, так как включает интервал (1; 3), где неравенство не выполняется.
• [-3; 3] - не подходит, так как включает отрицательные значения.
• (-∞; 0) - не подходит, так как включает отрицательные значения.
• [-1; 3] - не подходит, так как включает отрицательные значения.
• [1; +∞) - не подходит, так как включает интервал (1; 3), где неравенство не выполняется.

Подходит только промежуток [3; +∞).

Ответ: [3; +∞)