Решите неравенство (4x^2-4x+1)/(2x^2+13x-7) \le 0.

Решение:

Пошаговое решение:

• Шаг 1: Разложим числитель и знаменатель на множители:
  Числитель: \(4x^2 - 4x + 1 = (2x - 1)^2\)
  Знаменатель: \(2x^2 + 13x - 7\). Решим квадратное уравнение \(2x^2 + 13x - 7 = 0\).
  \(D = 13^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-7) = 169 + 56 = 225\)
  \(x_1 = \frac{-13 + \sqrt{225}}{2 \cdot 2} = \frac{-13 + 15}{4} = \frac{2}{4} = 0.5\)
  \(x_2 = \frac{-13 - \sqrt{225}}{2 \cdot 2} = \frac{-13 - 15}{4} = \frac{-28}{4} = -7\)
  Знаменатель: \(2(x - 0.5)(x + 7) = (2x - 1)(x + 7)\)
• Шаг 2: Исходное неравенство можно переписать в виде:
  \[\frac{(2x - 1)^2}{(2x - 1)(x + 7)} \le 0\]
  Сокращаем дробь: \(\frac{2x-1}{2x-1} \), при \(x
  eq 0.5\).
  Получаем:
  \[\frac{2x - 1}{x + 7} \le 0\]
• Шаг 3: Находим нули числителя и знаменателя:
  Числитель: \(2x - 1 = 0 \Rightarrow x = 0.5\)
  Знаменатель: \(x + 7 = 0 \Rightarrow x = -7\)
• Шаг 4: Определяем знаки на интервалах:
  Интервалы: \((-\infty; -7)\), \((-7; 0.5)\), \((0.5; +\infty)\)
  При \(x < -7\), например, \(x = -8\): \(\frac{2(-8) - 1}{-8 + 7} = \frac{-17}{-1} = 17 > 0\)
  При \(-7 < x < 0.5\), например, \(x = 0\): \(\frac{2(0) - 1}{0 + 7} = \frac{-1}{7} < 0\)
  При \(x > 0.5\), например, \(x = 1\): \(\frac{2(1) - 1}{1 + 7} = \frac{1}{8} > 0\)
• Шаг 5: Учитываем условие \(\le 0\), а также что при \(x = 0.5\) функция не определена из-за деления на ноль в исходном выражении.

Ответ: (-7; 0.5)