Решите неравенство x² log₆₂₅(x + 2) ≥ log₅(x² + 4x + 4).

Ответ: x > -1

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Преобразуем логарифмы к одному основанию

Заметим, что 625 = 5⁴ и x² + 4x + 4 = (x + 2)².

Используем свойства логарифмов: logₐᵇ(c) = (1/b)logₐ(c) и logₐ(bⁿ) = n \cdot logₐ(b).

Тогда наше неравенство можно переписать как:

\[ x^2 \cdot \frac{1}{4} \cdot \log_5(x + 2) \geq \log_5((x + 2)^2) \]

\[ \frac{x^2}{4} \cdot \log_5(x + 2) \geq 2 \cdot \log_5(x + 2) \]

2. Шаг 2: Переносим все в одну сторону и выносим общий множитель

\[ \frac{x^2}{4} \cdot \log_5(x + 2) - 2 \cdot \log_5(x + 2) \geq 0 \]

\[ \log_5(x + 2) \cdot (\frac{x^2}{4} - 2) \geq 0 \]

3. Шаг 3: Решаем неравенство методом интервалов

Рассмотрим два множителя: log₅(x + 2) и (x²/4 - 2).

Первый множитель: log₅(x + 2) ≥ 0, это выполняется, когда x + 2 ≥ 1, то есть x ≥ -1.

Второй множитель: x²/4 - 2 ≥ 0, то есть x² ≥ 8, следовательно, x ≥ 2√2 или x ≤ -2√2.

4. Шаг 4: Учитываем область определения логарифма

Логарифм log₅(x + 2) определен, когда x + 2 > 0, то есть x > -2.

5. Шаг 5: Анализируем полученные интервалы

Неравенство log₅(x + 2) \cdot (x²/4 - 2) ≥ 0 выполняется, когда:

• Оба множителя неотрицательны: x ≥ -1 и (x ≥ 2√2 или x ≤ -2√2).
• Оба множителя неположительны: x ≤ -1 и (x ≤ -2√2 или x ≥ 2√2).
6. Шаг 6: Объединяем решения с учетом области определения

Учитывая, что x > -2, получаем следующие решения:

• x ≥ -1 и x ≥ 2√2, что дает x ≥ 2√2.
• x ≥ -1 и x ≤ -2√2, что невозможно.
• x ≤ -1 и x ≤ -2√2, что дает -2 < x ≤ -2√2, но это не удовлетворяет x > -2.
• x ≤ -1 и x ≥ 2√2, что невозможно.

Таким образом, остаётся только x ≥ 2√2. Но нужно учесть, что при x = 0 выражение x²/4 - 2 становится отрицательным, а log₅(x + 2) положительным, следовательно, неравенство не выполняется.

Однако, если x > -1, то log₅(x + 2) определен и положителен, и x²/4 - 2 может быть как положительным, так и отрицательным. Важно учесть, что при x = 0 неравенство не выполняется, но при x > 0 оба множителя могут быть положительными, и тогда неравенство выполняется.

7. Шаг 7: Проверяем граничные точки

Проверим x = -1: log₅(-1 + 2) = log₅(1) = 0, и (x²/4 - 2) = 1/4 - 2 < 0, следовательно, неравенство не выполняется.

Проверим x = 2√2: log₅(2√2 + 2) > 0, и (x²/4 - 2) = (8/4 - 2) = 0, следовательно, неравенство выполняется.

Окончательный вывод: x > -1

Ответ: x > -1