Решите неравенство: 1. x²-12x + 27 ≤ 0; 2. 3x - 6x2 > 0; 3. 2x2 - x + 5 > 0; 4. 2x² ≥ 32; 5. x² + 3 x < 10

• 1. $$x^2 - 12x + 27 \le 0$$

Решим квадратное уравнение $$x^2 - 12x + 27 = 0$$

Найдем дискриминант по формуле $$D = b^2 - 4ac$$

В данном случае: $$a = 1, b = -12, c = 27$$

$$D = (-12)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 27 = 144 - 108 = 36$$

Найдем корни уравнения:

$$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{12 + \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{12 + 6}{2} = \frac{18}{2} = 9$$

$$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{12 - \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{12 - 6}{2} = \frac{6}{2} = 3$$

Имеем два корня: $$x_1 = 9, x_2 = 3$$

Теперь определим интервалы и проверим знаки на этих интервалах:

Интервалы: $$(-\infty, 3], [3, 9], [9, +\infty)$$

1) $$(-\infty, 3]$$ - возьмем $$x = 0$$

$$0^2 - 12 \cdot 0 + 27 = 27 > 0$$

2) $$[3, 9]$$ - возьмем $$x = 5$$

$$5^2 - 12 \cdot 5 + 27 = 25 - 60 + 27 = -8 < 0$$

3) $$[9, +\infty)$$ - возьмем $$x = 10$$

$$10^2 - 12 \cdot 10 + 27 = 100 - 120 + 27 = 7 > 0$$

Так как неравенство $$x^2 - 12x + 27 \le 0$$, выбираем интервал, где значение меньше или равно 0, то есть $$[3, 9]$$

Ответ: $$x \in [3, 9]$$

• 2. $$3x - 6x^2 > 0$$

Вынесем общий множитель за скобки: $$3x(1 - 2x) > 0$$

Найдем корни уравнения: $$3x(1 - 2x) = 0$$

$$3x = 0$$ или $$1 - 2x = 0$$

$$x_1 = 0$$ и $$x_2 = \frac{1}{2}$$

Интервалы: $$(-\infty, 0), (0, \frac{1}{2}), (\frac{1}{2}, +\infty)$$

1) $$(-\infty, 0)$$ - возьмем $$x = -1$$

$$3(-1) - 6(-1)^2 = -3 - 6 = -9 < 0$$

2) $$(0, \frac{1}{2})$$ - возьмем $$x = \frac{1}{4}$$

$$3(\frac{1}{4}) - 6(\frac{1}{4})^2 = \frac{3}{4} - 6(\frac{1}{16}) = \frac{3}{4} - \frac{3}{8} = \frac{6 - 3}{8} = \frac{3}{8} > 0$$

3) $$(\frac{1}{2}, +\infty)$$ - возьмем $$x = 1$$

$$3(1) - 6(1)^2 = 3 - 6 = -3 < 0$$

Выбираем интервал, где значение больше 0, то есть $$(0, \frac{1}{2})$$

Ответ: $$x \in (0, \frac{1}{2})$$

• 3. $$2x^2 - x + 5 > 0$$

Решим квадратное уравнение $$2x^2 - x + 5 = 0$$

Найдем дискриминант: $$D = b^2 - 4ac$$

$$D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 5 = 1 - 40 = -39$$

Так как дискриминант отрицательный, то уравнение не имеет действительных корней.

Так как коэффициент при $$x^2$$ положительный, то парабола направлена вверх. Это означает, что при любом x выражение $$2x^2 - x + 5$$ будет больше 0.

Ответ: $$x \in (-\infty, +\infty)$$

• 4. $$2x^2 \ge 32$$

Разделим обе части на 2: $$x^2 \ge 16$$

Извлечем квадратный корень: $$|x| \ge 4$$

$$x \ge 4$$ или $$x \le -4$$

Интервалы: $$(-\infty, -4], [-4, 4], [4, +\infty)$$

1) $$(-\infty, -4]$$ - возьмем $$x = -5$$

$$2(-5)^2 = 50 \ge 32$$

2) $$[-4, 4]$$ - возьмем $$x = 0$$

$$2(0)^2 = 0 < 32$$

3) $$[4, +\infty)$$ - возьмем $$x = 5$$

$$2(5)^2 = 50 \ge 32$$

Ответ: $$x \in (-\infty, -4] \cup [4, +\infty)$$

• 5. $$x^2 + 3x < 10$$

Перенесем 10 в левую часть: $$x^2 + 3x - 10 < 0$$

Решим квадратное уравнение $$x^2 + 3x - 10 = 0$$

Найдем дискриминант: $$D = b^2 - 4ac$$

$$D = (3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 9 + 40 = 49$$

Найдем корни уравнения:

$$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 + \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 + 7}{2} = \frac{4}{2} = 2$$

$$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 - \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 - 7}{2} = \frac{-10}{2} = -5$$

Имеем два корня: $$x_1 = 2, x_2 = -5$$

Интервалы: $$(-\infty, -5), (-5, 2), (2, +\infty)$$

1) $$(-\infty, -5)$$ - возьмем $$x = -6$$

$$(-6)^2 + 3(-6) - 10 = 36 - 18 - 10 = 8 > 0$$

2) $$(-5, 2)$$ - возьмем $$x = 0$$

$$(0)^2 + 3(0) - 10 = -10 < 0$$

3) $$(2, +\infty)$$ - возьмем $$x = 3$$

$$(3)^2 + 3(3) - 10 = 9 + 9 - 10 = 8 > 0$$

Выбираем интервал, где значение меньше 0, то есть $$(-5, 2)$$

Ответ: $$x \in (-5, 2)$$