Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
Математика113. Решите неравенство: 1) x²-5x-36 < 0; 2) x²+7x-30 ≥ 0; 3) -x²+4,6x- 2,4 < 0; 4) -3x² + 4x + 4 > 0; 5) 4x²-16x≤ 0; 6) 9x²-25 > 0; 7) 4x²-12x + 9 > 0; 8) x²-14x +49 ≥ 0; 9) 5x²-2x+1 > 0; 10) 64x²-16x + 1 ≤ 0; 11) 9x² + 30x + 25 < 0; 12) 2x²-5x + 4 ≤ 0.
Ответ:
1) x² - 5x - 36 < 0
Сначала решим квадратное уравнение x² - 5x - 36 = 0, чтобы найти корни:
\[D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-36) = 25 + 144 = 169\] \[x_1 = \frac{5 + \sqrt{169}}{2} = \frac{5 + 13}{2} = 9\] \[x_2 = \frac{5 - \sqrt{169}}{2} = \frac{5 - 13}{2} = -4\]Теперь мы знаем, что парабола пересекает ось x в точках -4 и 9. Так как коэффициент при x² положительный, парабола направлена вверх. Нам нужно найти интервал, где парабола находится ниже нуля, то есть между корнями.
Ответ: x ∈ (-4; 9)
2) x² + 7x - 30 ≥ 0
Решим квадратное уравнение x² + 7x - 30 = 0:
\[D = 7^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-30) = 49 + 120 = 169\] \[x_1 = \frac{-7 + \sqrt{169}}{2} = \frac{-7 + 13}{2} = 3\] \[x_2 = \frac{-7 - \sqrt{169}}{2} = \frac{-7 - 13}{2} = -10\]Парабола направлена вверх, и нам нужны интервалы, где она больше или равна нулю, то есть вне корней.
Ответ: x ∈ (-∞; -10] ∪ [3; +∞)
3) -x² + 4.6x - 2.4 < 0
Умножим обе части на -1, чтобы изменить знак неравенства и упростить решение:
x² - 4.6x + 2.4 > 0
Решим квадратное уравнение x² - 4.6x + 2.4 = 0:
\[D = (-4.6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2.4 = 21.16 - 9.6 = 11.56\] \[x_1 = \frac{4.6 + \sqrt{11.56}}{2} = \frac{4.6 + 3.4}{2} = 4\] \[x_2 = \frac{4.6 - \sqrt{11.56}}{2} = \frac{4.6 - 3.4}{2} = 0.6\]Теперь мы знаем, что парабола (направленная вверх) пересекает ось x в точках 0.6 и 4. Нам нужны интервалы, где она больше нуля, то есть вне корней.
Ответ: x ∈ (-∞; 0.6) ∪ (4; +∞)
4) -3x² + 4x + 4 > 0
Умножим обе части на -1, чтобы изменить знак неравенства:
3x² - 4x - 4 < 0
Решим квадратное уравнение 3x² - 4x - 4 = 0:
\[D = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-4) = 16 + 48 = 64\] \[x_1 = \frac{4 + \sqrt{64}}{6} = \frac{4 + 8}{6} = 2\] \[x_2 = \frac{4 - \sqrt{64}}{6} = \frac{4 - 8}{6} = -\frac{2}{3}\]Парабола направлена вверх. Нам нужно найти интервал, где парабола находится ниже нуля, то есть между корнями.
Ответ: x ∈ (-2/3; 2)
5) 4x² - 16x ≤ 0
Вынесем общий множитель:
4x(x - 4) ≤ 0
Найдем корни:
4x = 0 → x = 0
x - 4 = 0 → x = 4
Парабола направлена вверх. Нам нужно найти интервал, где парабола находится ниже или равна нулю, то есть между корнями.
Ответ: x ∈ [0; 4]
6) 9x² - 25 > 0
Решим уравнение 9x² - 25 = 0:
\[9x^2 = 25\] \[x^2 = \frac{25}{9}\] \[x = \pm \frac{5}{3}\]Парабола направлена вверх. Нам нужны интервалы, где она больше нуля, то есть вне корней.
Ответ: x ∈ (-∞; -5/3) ∪ (5/3; +∞)
7) 4x² - 12x + 9 > 0
Решим уравнение 4x² - 12x + 9 = 0:
\[D = (-12)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 9 = 144 - 144 = 0\] \[x = \frac{12}{8} = \frac{3}{2}\]Парабола касается оси x в точке 3/2. Так как коэффициент при x² положительный, она всегда больше нуля, кроме точки касания.
Ответ: x ∈ (-∞; 3/2) ∪ (3/2; +∞)
8) x² - 14x + 49 ≥ 0
Решим уравнение x² - 14x + 49 = 0:
(x - 7)² = 0
x = 7
Парабола касается оси x в точке 7. Так как коэффициент при x² положительный, она всегда больше или равна нулю.
Ответ: x ∈ (-∞; +∞)
9) 5x² - 2x + 1 > 0
Решим уравнение 5x² - 2x + 1 = 0:
\[D = (-2)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 1 = 4 - 20 = -16\]Так как дискриминант отрицательный, корней нет. Парабола всегда выше оси x, так как коэффициент при x² положительный.
Ответ: x ∈ (-∞; +∞)
10) 64x² - 16x + 1 ≤ 0
Решим уравнение 64x² - 16x + 1 = 0:
\[D = (-16)^2 - 4 \cdot 64 \cdot 1 = 256 - 256 = 0\] \[x = \frac{16}{128} = \frac{1}{8}\]Парабола касается оси x в точке 1/8. Нам нужно найти, где она меньше или равна нулю. Поскольку касается только в одной точке, то только эта точка является решением.
Ответ: x = 1/8
11) 9x² + 30x + 25 < 0
Решим уравнение 9x² + 30x + 25 = 0:
(3x + 5)² = 0
\[x = -\frac{5}{3}\]Парабола касается оси x в точке -5/3. Так как коэффициент при x² положительный, она всегда больше нуля, кроме точки касания. Но в данном случае нам нужно строго меньше нуля, поэтому решений нет.
Ответ: ∅ (нет решений)
12) 2x² - 5x + 4 ≤ 0
Решим уравнение 2x² - 5x + 4 = 0:
\[D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 4 = 25 - 32 = -7\]Так как дискриминант отрицательный, корней нет. Парабола всегда выше оси x, так как коэффициент при x² положительный.
Ответ: ∅ (нет решений)
