Решите неравенство (x-2)²(x+4) / (x²+3x-10) ≤ 0.

Привет! Разбираемся с решением неравенства. Смотри, тут главное – внимательность и аккуратность!

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Разложим знаменатель на множители:
   \[x^2 + 3x - 10 = (x - 2)(x + 5)\]
2. Шаг 2: Перепишем неравенство с учетом разложения:
   \[\frac{(x-2)^2(x+4)}{(x-2)(x+5)} ≤ 0\]
3. Шаг 3: Сократим дробь на (x-2), но учтем, что x ≠ 2:
   \[\frac{(x-2)(x+4)}{(x+5)} ≤ 0, x ≠ 2\]
4. Шаг 4: Найдем нули числителя и знаменателя:
   \(x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2\), \(x + 4 = 0 \Rightarrow x = -4\), \(x + 5 = 0 \Rightarrow x = -5\)
5. Шаг 5: Отметим найденные точки на числовой прямой и определим знаки на интервалах:
   Интервалы: \((-\infty; -5)\), \((-5; -4)\), \((-4; 2)\), \((2; +\infty)\)
   Знаки: +, -, +, +
6. Шаг 6: Запишем решение, учитывая знак неравенства (≤ 0) и исключая x = 2:
   \[x \in (-5; -4] \cup \{2\}\]

Ответ: \(x \in (-5; -4] \cup \{2\}\)