Решите неравенство (x-5)³ (x+3) / (x²-x-20) ≤ 0.

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Разложим знаменатель на множители.
   Решаем квадратное уравнение x² - x - 20 = 0.
   Дискриминант D = (-1)² - 4 * 1 * (-20) = 1 + 80 = 81.
   Корни уравнения:
   x₁ = (1 + √81) / 2 = (1 + 9) / 2 = 5
   x₂ = (1 - √81) / 2 = (1 - 9) / 2 = -4
   Значит, x² - x - 20 = (x - 5)(x + 4)
2. Шаг 2: Перепишем неравенство с разложенным знаменателем:
   ((x-5)³ (x+3)) / ((x - 5)(x + 4)) ≤ 0
   Сократим дробь на (x - 5), учитывая, что x ≠ 5 (так как знаменатель не может быть равен нулю):
   ((x-5)² (x+3)) / (x + 4) ≤ 0
3. Шаг 3: Найдем нули числителя и знаменателя:
   x = 5 (корень четной кратности)
   x = -3
   x = -4 (знаменатель)
4. Шаг 4: Метод интервалов.
   Отметим точки -4, -3 и 5 на числовой прямой. Точка -4 выколота, так как она из знаменателя. Точка -3 закрашена, так как неравенство нестрогое и она из числителя. Точка 5 выколота, так как на нее сократили.
   Определим знаки на каждом интервале:
   x < -4: ((-)² (-) ) / (-) = (-)
   -4 < x < -3: ((-)² (+) ) / (+) = (+)
   -3 < x < 5: ((-)² (+) ) / (+) = (+)
   x > 5: ((+)² (+) ) / (+) = (+)
5. Шаг 5: Выберем интервалы, где выражение меньше или равно нулю:
   x < -4 и x = -3

Ответ: x ∈ (-∞; -4) ∪ {-3}