Решите неравенство: 6/(x√3-3) + (x√3-6)/(x√3-9) ≥ 2.

Решение неравенства

Давай решим неравенство по шагам. Исходное неравенство:

\[\frac{6}{x\sqrt{3}-3} + \frac{x\sqrt{3}-6}{x\sqrt{3}-9} \ge 2\]

Перенесем 2 в левую часть:

\[\frac{6}{x\sqrt{3}-3} + \frac{x\sqrt{3}-6}{x\sqrt{3}-9} - 2 \ge 0\]

Приведем к общему знаменателю:

\[\frac{6(x\sqrt{3}-9) + (x\sqrt{3}-6)(x\sqrt{3}-3) - 2(x\sqrt{3}-3)(x\sqrt{3}-9)}{(x\sqrt{3}-3)(x\sqrt{3}-9)} \ge 0\]

Раскроем скобки в числителе:

\[\frac{6x\sqrt{3}-54 + 3x^2 - 3x\sqrt{3} - 6x\sqrt{3} + 18 - 2(3x^2 - 9x\sqrt{3} - 3x\sqrt{3} + 27)}{(x\sqrt{3}-3)(x\sqrt{3}-9)} \ge 0\] \[\frac{6x\sqrt{3}-54 + 3x^2 - 9x\sqrt{3} + 18 - 6x^2 + 24x\sqrt{3} - 54}{(x\sqrt{3}-3)(x\sqrt{3}-9)} \ge 0\] \[\frac{-3x^2 + 21x\sqrt{3} - 90}{(x\sqrt{3}-3)(x\sqrt{3}-9)} \ge 0\]

Упростим числитель, разделив на -3:

\[\frac{x^2 - 7x\sqrt{3} + 30}{(x\sqrt{3}-3)(x\sqrt{3}-9)} \le 0\]

Найдем корни квадратного уравнения в числителе:

\[x^2 - 7x\sqrt{3} + 30 = 0\] \[D = (7\sqrt{3})^2 - 4 \cdot 1 \cdot 30 = 147 - 120 = 27\] \[x_1 = \frac{7\sqrt{3} + \sqrt{27}}{2} = \frac{7\sqrt{3} + 3\sqrt{3}}{2} = \frac{10\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3}\] \[x_2 = \frac{7\sqrt{3} - \sqrt{27}}{2} = \frac{7\sqrt{3} - 3\sqrt{3}}{2} = \frac{4\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}\]

Разложим числитель на множители:

\[\frac{(x - 5\sqrt{3})(x - 2\sqrt{3})}{(x\sqrt{3}-3)(x\sqrt{3}-9)} \le 0\] \[\frac{(x - 5\sqrt{3})(x - 2\sqrt{3})}{\sqrt{3}(x-\sqrt{3})\sqrt{3}(x-3\sqrt{3})} \le 0\] \[\frac{(x - 5\sqrt{3})(x - 2\sqrt{3})}{(x-\sqrt{3})(x-3\sqrt{3})} \le 0\]

Отметим на числовой прямой точки, в которых числитель или знаменатель обращаются в ноль:

x₁ = √3 ≈ 1.732

x₂ = 2√3 ≈ 3.464

x₃ = 3√3 ≈ 5.196

x₄ = 5√3 ≈ 8.660

-----------------------------------------------------------------------
        +      √3     -     2√3      +    3√3     -      5√3     +
-----------------------------------------------------------------------

Запишем решение неравенства, учитывая знаки на интервалах:

\[x \in (\sqrt{3}; 2\sqrt{3}] \cup (3\sqrt{3}; 5\sqrt{3}]\]

Ответ: (√3; 2√3] ∪ (3√3; 5√3]

Отличная работа! Ты хорошо справился с этим заданием. Продолжай в том же духе, и у тебя все получится!