Решите неравенство $$x \le \frac{4}{x}$$.

Для решения неравенства $$x \le \frac{4}{x}$$ перенесем все в одну сторону: $$x - \frac{4}{x} \le 0$$ Приведем к общему знаменателю: $$\frac{x^2 - 4}{x} \le 0$$ Разложим числитель на множители: $$\frac{(x - 2)(x + 2)}{x} \le 0$$ Теперь найдем нули числителя и знаменателя: * $$x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2$$ * $$x + 2 = 0 \Rightarrow x = -2$$ * $$x = 0$$ Отметим эти точки на числовой прямой и определим знаки выражения на каждом интервале: ----(-2)----(0)----(2)----> x Рассмотрим интервалы: * $$x < -2$$. Например, $$x = -3$$. Тогда $$\frac{(-3 - 2)(-3 + 2)}{-3} = \frac{(-5)(-1)}{-3} = \frac{5}{-3} < 0$$. Знак: - * $$-2 < x < 0$$. Например, $$x = -1$$. Тогда $$\frac{(-1 - 2)(-1 + 2)}{-1} = \frac{(-3)(1)}{-1} = 3 > 0$$. Знак: + * $$0 < x < 2$$. Например, $$x = 1$$. Тогда $$\frac{(1 - 2)(1 + 2)}{1} = \frac{(-1)(3)}{1} = -3 < 0$$. Знак: - * $$x > 2$$. Например, $$x = 3$$. Тогда $$\frac{(3 - 2)(3 + 2)}{3} = \frac{(1)(5)}{3} = \frac{5}{3} > 0$$. Знак: + Нам нужно найти интервалы, где выражение $$\frac{(x - 2)(x + 2)}{x} \le 0$$. Таким образом, решением являются интервалы $$(-\infty; -2]$$ и $$(0; 2]$$. Объединяем решения и получаем: $$x \in (-\infty; -2] \cup (0; 2]$$ Ответ: $$(-\infty; -2] \cup (0; 2]$$