Решите неравенство: (x-1)^2(x+2)^3(7x+1) / x^5(2x-5)^4 >= 0

Решение:

Данное неравенство является дробно-рациональным. Для его решения найдём корни числителя и знаменателя, а также определим знаки выражений.

1. Корни числителя:
• \( (x-1)^2 = 0 \Rightarrow x = 1 \) (чётный корень)
• \( (x+2)^3 = 0 \Rightarrow x = -2 \) (нечётный корень)
• \( 7x+1 = 0 \Rightarrow x = -1/7 \) (нечётный корень)
2. Корни знаменателя:
• \( x^5 = 0 \Rightarrow x = 0 \) (нечётный корень)
• \( (2x-5)^4 = 0 \Rightarrow x = 5/2 \) (чётный корень)
3. Отметим корни на числовой оси и определим знаки интервалов.

Корни, расположенные в порядке возрастания: -2, -1/7, 0, 1, 5/2.

Рассмотрим поведение функции на интервалах:

• При x > 5/2: Все множители положительны, значит, дробь положительна.
• При 1 < x < 5/2: \( (x-1)^2 > 0, (x+2)^3 > 0, (7x+1) > 0, x^5 > 0, (2x-5)^4 > 0 \). Знаменатель \( x^5(2x-5)^4 \) всегда положителен, кроме \( x=0 \) и \( x=5/2 \). Числитель \( (x-1)^2(x+2)^3(7x+1) \) положителен. В итоге дробь положительна.
• При 0 < x < 1: \( (x-1)^2 > 0, (x+2)^3 > 0, (7x+1) > 0, x^5 > 0, (2x-5)^4 > 0 \). Дробь положительна.
• При -1/7 < x < 0: \( (x-1)^2 > 0, (x+2)^3 > 0, (7x+1) > 0, x^5 < 0, (2x-5)^4 > 0 \). Знаменатель отрицателен, числитель положителен. Дробь отрицательна.
• При -2 < x < -1/7: \( (x-1)^2 > 0, (x+2)^3 > 0, (7x+1) < 0, x^5 < 0, (2x-5)^4 > 0 \). Знаменатель отрицателен, числитель отрицателен. Дробь положительна.
• При x < -2: \( (x-1)^2 > 0, (x+2)^3 < 0, (7x+1) < 0, x^5 < 0, (2x-5)^4 > 0 \). Знаменатель отрицателен, числитель положителен. Дробь отрицательна.

Учитывая, что \( \ge 0 \), мы включаем корни числителя, кроме корней знаменателя.

Интервалы, где выполняется условие \( \ge 0 \):

• \( [-2, -1/7] \)
• \( [0, 1] \)
• \( [1, 5/2) \)
• \( (5/2, \infty) \)

Объединяем эти интервалы, учитывая, что \( x e 0 \) и \( x e 5/2 \).

\( x=1 \) является корнем числителя с чётной степенью, поэтому знак не меняется при переходе через него. Но нам нужно \( \ge 0 \), поэтому \( x=1 \) включается.

Решение: \( x \in [-2, -1/7] \cup [0, 5/2) \).

Ответ: \( x \in [-2, -1/7] \cup [0, 5/2) \).