Решите неравенство: \( (x+1)(x-6) ≤ 0 \)

Решение:

Для решения неравенства \( (x+1)(x-6) ≤ 0 \) найдём корни уравнения \( (x+1)(x-6) = 0 \).

Корни: \( x = -1 \) и \( x = 6 \).

Эти корни разбивают числовую прямую на три интервала: \( (-∞, -1] \), \( [-1, 6] \) и \( [6, +∞) \).

Определим знак выражения \( (x+1)(x-6) \) в каждом интервале:

• При \( x < -1 \) (например, \( x = -2 \)): \( (-2+1)(-2-6) = (-1)(-8) = 8 > 0 \).
• При \( -1 < x < 6 \) (например, \( x = 0 \)): \( (0+1)(0-6) = (1)(-6) = -6 ≤ 0 \).
• При \( x > 6 \) (например, \( x = 7 \)): \( (7+1)(7-6) = (8)(1) = 8 > 0 \).

Неравенство \( (x+1)(x-6) ≤ 0 \) выполняется, когда выражение отрицательно или равно нулю.

Таким образом, решением неравенства является промежуток \( [-1, 6] \).

Ответ: \( [-1; 6] \)