Решите неравенство (x+1)² (x−6) ≥0. x²-5x-6

Привет! Давай разберем это неравенство вместе. Здесь нужно найти значения x, при которых дробь будет больше или равна нулю.

1. Разложим знаменатель на множители:

   Знаменатель у нас x² - 5x - 6. Чтобы его разложить, найдем корни квадратного уравнения x² - 5x - 6 = 0. По теореме Виета, сумма корней равна 5, а произведение равно -6. Это числа 6 и -1.

   Значит, знаменатель можно записать как: (x - 6)(x + 1).

2. Перепишем неравенство:

   Теперь наше неравенство выглядит так:

   \[ \frac{(x+1)^2 (x-6)}{(x-6)(x+1)} \ge 0 \]

3. Упростим неравенство:

   Мы можем сократить (x-6) и (x+1), но нужно быть осторожным!

   • Если x = 6, то знаменатель равен нулю, а на ноль делить нельзя. Значит, x ≠ 6.
   • Если x = -1, то знаменатель тоже равен нулю. Значит, x ≠ -1.

   После сокращения получаем:

   \[ (x+1) \ge 0 \]

   Но это не совсем так, потому что мы потеряли информацию о том, что (x+1)² всегда больше или равно нулю, а (x-6) и (x+1) в знаменателе должны быть разными знаками, чтобы вся дробь была больше нуля. Давайте вернемся к исходному виду и применим метод интервалов.

4. Метод интервалов:

   Найдем корни числителя и знаменателя:

   • Числитель: (x+1)² = 0 => x = -1 (корень кратности 2)
   • Знаменатель: x² - 5x - 6 = 0 => (x - 6)(x + 1) = 0 => x = 6 и x = -1.

   У нас есть три критические точки: -1, -1, 6. Они разбивают числовую ось на интервалы:

   (-∞, -1), (-1, 6), (6, +∞).

   Важно: Точки, где знаменатель равен нулю (x = -1 и x = 6), будут выколотыми (не входят в решение).

   Теперь подставим тестовые значения из каждого интервала в исходное неравенство:

   • Интервал (-∞, -1): Возьмем x = -2.

   \[ \frac{(-2+1)^2 (-2-6)}{(-2-6)(-2+1)} = \frac{(-1)^2 (-8)}{(-8)(-1)} = \frac{1 \times (-8)}{8} = -1 \]

   -1 < 0, этот интервал не подходит.

   • Интервал (-1, 6): Возьмем x = 0.

   \[ \frac{(0+1)^2 (0-6)}{(0-6)(0+1)} = \frac{1^2 (-6)}{(-6)(1)} = \frac{-6}{-6} = 1 \]

   1 > 0, этот интервал подходит.

   • Интервал (6, +∞): Возьмем x = 7.

   \[ \frac{(7+1)^2 (7-6)}{(7-6)(7+1)} = \frac{8^2 (1)}{(1)(8)} = \frac{64}{8} = 8 \]

   8 > 0, этот интервал подходит.

5. Учитываем кратность корня:

   Корень x = -1 у нас кратный (из-за (x+1)²). Это значит, что знак на интервалах, где он является границей, не меняется. Однако, так как x = -1 — это корень и числителя, и знаменателя, и при этом знаменатель равен нулю, то x = -1 не входит в решение.

   У нас остались интервалы (-1, 6) и (6, +∞). Так как x = 6 — корень знаменателя, он тоже не входит в решение.

6. Итоговое решение:

   Объединяем подходящие интервалы:

   \[ x \in (-1; 6) \cup (6; +\infty) \]

Ответ:

\[ x \in (-1; 6) \cup (6; +\infty) \]