Решите неравенство: \( x^2 + 15x > 0 \). В ответе укажите номер правильного варианта.

Решение:

Решим неравенство \( x^2 + 15x > 0 \).

1. Разложим левую часть на множители:
   • Вынесем \( x \) за скобки: \( x(x + 15) > 0 \)
2. Определим корни уравнения \( x(x + 15) = 0 \):
   • \( x = 0 \)
   • \( x + 15 = 0 \implies x = -15 \)
3. Отметим корни на числовой прямой и определим знаки интервалов. Корни делят числовую прямую на три интервала: \( (-\infty; -15) \), \( (-15; 0) \), \( (0; +\infty) \).
4. Проверим знаки выражения \( x(x + 15) \) в каждом интервале:
   • При \( x < -15 \) (например, \( x = -20 \)): \( -20(-20 + 15) = -20(-5) = 100 > 0 \). Интервал \( (-\infty; -15) \) подходит.
   • При \( -15 < x < 0 \) (например, \( x = -5 \)): \( -5(-5 + 15) = -5(10) = -50 < 0 \). Этот интервал не подходит.
   • При \( x > 0 \) (например, \( x = 5 \)): \( 5(5 + 15) = 5(20) = 100 > 0 \). Интервал \( (0; +\infty) \) подходит.
5. Таким образом, решение неравенства \( x^2 + 15x > 0 \) — это объединение интервалов \( (-\infty; -15) \) и \( (0; +\infty) \).

Сравним полученное решение с предложенными вариантами:

• 1) \( (-\infty; -15) \cup (0; +\infty) \) — совпадает с нашим решением.
• 2) \( (-\infty; -15] \cup [0; +\infty) \) — неверно, так как неравенство строгое ('>').
• 3) \( (-15; 0) \) — неверно, это интервал, где выражение отрицательно.
• 4) \( [-15; 0] \) — неверно, интервал включает граничные точки и где выражение отрицательно.

Ответ: 1