Решите неравенство: |x^2 - 5x| ≤ 6

Решение:

Неравенство |x^2 - 5x| ≤ 6 равносильно двойному неравенству:

\[ -6 \le x^2 - 5x \le 6 \]

Разобьем его на два:

1. \( x^2 - 5x \ge -6 \)


2. \( x^2 - 5x \le 6 \)

1. Решим неравенство \( x^2 - 5x \ge -6 \)

Перенесём всё в левую часть:

\( x^2 - 5x + 6 \ge 0 \)

Найдем корни квадратного уравнения \( x^2 - 5x + 6 = 0 \):

\( D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1 \)

\( x_1 = \frac{5 - 1}{2} = 2 \)

\( x_2 = \frac{5 + 1}{2} = 3 \)

Парабола \( y = x^2 - 5x + 6 \) ветвями вверх. Значит, \( x^2 - 5x + 6 \ge 0 \) при \( x \in (-\infty; 2] \cup [3; \infty) \).

2. Решим неравенство \( x^2 - 5x \le 6 \)

Перенесём всё в левую часть:

\( x^2 - 5x - 6 \le 0 \)

Найдем корни квадратного уравнения \( x^2 - 5x - 6 = 0 \):

\( D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 25 + 24 = 49 \)

\( x_1 = \frac{5 - 7}{2} = -1 \)

\( x_2 = \frac{5 + 7}{2} = 6 \)

Парабола \( y = x^2 - 5x - 6 \) ветвями вверх. Значит, \( x^2 - 5x - 6 \le 0 \) при \( x \in [-1; 6] \).

3. Объединим решения

Нам нужно найти пересечение интервалов:

\( ( (-\infty; 2] \cup [3; \infty) ) \cap [-1; 6] \)

Пересечение \( (-\infty; 2] \cap [-1; 6] = [-1; 2] \)

Пересечение \( [3; \infty) \cap [-1; 6] = [3; 6] \)

Объединяем полученные интервалы:

\( [-1; 2] \cup [3; 6] \)

Ответ: \( [-1; 2] \cup [3; 6] \).