Решите неравенство |x+2|·(x+2)-9<0.

Решение:

Обозначим \( y = x+2 \). Тогда неравенство примет вид: \( |y| \cdot y - 9 < 0 \).

Рассмотрим два случая:

1. \( y \ge 0 \) (то есть \( x+2 \ge 0 \), \( x \ge -2 \)). В этом случае \( |y| = y \). Неравенство становится: \( y \cdot y - 9 < 0 \) → \( y^2 - 9 < 0 \) → \( (y-3)(y+3) < 0 \). Решением является \( -3 < y < 3 \). Учитывая условие \( y \ge 0 \), получаем \( 0 \le y < 3 \). Подставляя \( y = x+2 \), имеем: \( 0 \le x+2 < 3 \) → \( -2 \le x < 1 \).
2. \( y < 0 \) (то есть \( x+2 < 0 \), \( x < -2 \)). В этом случае \( |y| = -y \). Неравенство становится: \( (-y) \cdot y - 9 < 0 \) → \( -y^2 - 9 < 0 \) → \( y^2 + 9 > 0 \). Это неравенство верно для любого действительного \( y \), так как \( y^2 \ge 0 \) и \( y^2 + 9 \ge 9 \). Учитывая условие \( y < 0 \), получаем \( y < 0 \). Подставляя \( y = x+2 \), имеем: \( x+2 < 0 \) → \( x < -2 \).

Объединяя решения обоих случаев: \( (-2 \le x < 1) \cup (x < -2) \). Это означает, что \( x < 1 \).

Однако, в предложенных вариантах ответа нет \( (-\infty; 1) \) как единственного ответа. Перепроверим условие.

Предположим, что в условии была опечатка и имелось в виду \( |x+2| \cdot (x+2) < 9 \).

Вернемся к \( |y| \cdot y - 9 < 0 \).

Случай 1: \( y \ge 0 \) (т.е. \( x \ge -2 \)). \( y^2 - 9 < 0 \) → \( -3 < y < 3 \). С учетом \( y \ge 0 \) получаем \( 0 \le y < 3 \). Подставляя \( y=x+2 \), получаем \( 0 \le x+2 < 3 \) → \( -2 \le x < 1 \).

Случай 2: \( y < 0 \) (т.е. \( x < -2 \)). \( -y^2 - 9 < 0 \) → \( y^2 + 9 > 0 \). Верно для всех \( y \). С учетом \( y < 0 \) получаем \( y < 0 \). Подставляя \( y=x+2 \), получаем \( x+2 < 0 \) → \( x < -2 \).

Объединяя оба случая: \( x < 1 \).

Теперь рассмотрим, если неравенство было \( |x+2| \cdot |x+2| - 9 < 0 \), то есть \( (x+2)^2 - 9 < 0 \) → \( (x+2-3)(x+2+3) < 0 \) → \( (x-1)(x+5) < 0 \) → \( -5 < x < 1 \).

Если же имелось в виду \( |x+2| + (x+2) - 9 < 0 \), то:

Случай 1: \( x+2 ≥ 0 \) (т.е. \( x ≥ -2 \)). \( (x+2) + (x+2) - 9 < 0 \) → \( 2x + 4 - 9 < 0 \) → \( 2x - 5 < 0 \) → \( 2x < 5 \) → \( x < 2.5 \). С учетом \( x ≥ -2 \), получаем \( -2 ≥ x < 2.5 \).

Случай 2: \( x+2 < 0 \) (т.е. \( x < -2 \)). \( -(x+2) + (x+2) - 9 < 0 \) → \( -x - 2 + x + 2 - 9 < 0 \) → \( -9 < 0 \). Это неравенство верно всегда. Значит, все \( x < -2 \) являются решением.

Объединяя оба случая: \( (-2 ≥ x < 2.5) \cup (x < -2) \), что дает \( x < 2.5 \).

Давайте вернемся к исходному условию: \( |x+2| · (x+2) - 9 < 0 \).

Случай 1: \( x+2 ≥ 0 \) (т.е. \( x ≥ -2 \)). Тогда \( (x+2)(x+2) - 9 < 0 \) → \( (x+2)^2 - 9 < 0 \) → \( (x+2)^2 < 9 \) → \( -3 < x+2 < 3 \) → \( -5 < x < 1 \). Учитывая \( x ≥ -2 \), получаем \( -2 ≥ x < 1 \).

Случай 2: \( x+2 < 0 \) (т.е. \( x < -2 \)). Тогда \( -(x+2)(x+2) - 9 < 0 \) → \( -(x+2)^2 - 9 < 0 \) → \( -(x+2)^2 < 9 \) → \( (x+2)^2 > -9 \). Это неравенство верно для всех \( x \).

Следовательно, для этого случая решением является \( x < -2 \).

Объединяя решения обоих случаев: \( [-2, 1) \cup (-\infty, -2) = (-\infty, 1) \).

Среди предложенных вариантов нет \( (-\infty, 1) \) как единственного ответа.

Перечитаем варианты ответов:

a. \( (-\infty;-2) \)

b. \( (-\infty;-2) \cup (-2;1) \)

c. \( (-\infty;1) \)

d. \( [-2;1) \)

e. \( (1;\infty) \)

Наш полученный результат \( x < 1 \) совпадает с вариантом c.

Ответ: c. \(-\infty;1\)