Решите неравенство: \((x-4)^4(x-1)^3(x+3)^2(x-8)\le 0\).

Решение.

1. Нули выражения: \(x=-3\) (кратность 2), \(x=1\) (кратность 3), \(x=4\) (кратность 4), \(x=8\) (кратность 1).
2. При чётной кратности знак при переходе через корень не меняется, при нечётной — меняется. На интервале \((8,+\infty)\) выражение положительно, поэтому на \((4,8)\) оно отрицательно. Корень \(4\) имеет чётную кратность, значит знак на \((1,4)\) тоже отрицательный? Проверим переходы: через \(4\) знак не меняется, через \(1\) меняется, через \(-3\) не меняется. Следовательно, на \((1,4)\) знак отрицательный, на \((-3,1)\) положительный, на \((-\infty,-3)\) также положительный после чётного корня \(-3\)? Знак на этих интервалах согласуется с тем, что степень многочлена чётная и старший коэффициент положителен.

Знаки на интервалах: положительный при \(x<-3\), положительный при \(-38\). Все нули входят в решение.

Ответ: \((-\infty,-3]\cup\{1\}\cup[4,8]\).