Решите неравенство (x² - 4x - 21)(x² - 9x + 14) ≤ 0.

Решение неравенства:

1. Разложим на множители каждый квадратный трехчлен:

   Первый трехчлен: x² - 4x - 21

   Найдем корни уравнения x² - 4x - 21 = 0:

   D = (-4)² - 4 * 1 * (-21) = 16 + 84 = 100

   x₁ = (4 + √100) / 2 = (4 + 10) / 2 = 14 / 2 = 7

   x₂ = (4 - √100) / 2 = (4 - 10) / 2 = -6 / 2 = -3

   Таким образом, x² - 4x - 21 = (x - 7)(x + 3).

   Второй трехчлен: x² - 9x + 14

   Найдем корни уравнения x² - 9x + 14 = 0:

   D = (-9)² - 4 * 1 * 14 = 81 - 56 = 25

   x₃ = (9 + √25) / 2 = (9 + 5) / 2 = 14 / 2 = 7

   x₄ = (9 - √25) / 2 = (9 - 5) / 2 = 4 / 2 = 2

   Таким образом, x² - 9x + 14 = (x - 7)(x - 2).

2. Подставим разложенные множители в исходное неравенство:

   (x - 7)(x + 3)(x - 7)(x - 2) ≤ 0

   (x - 7)²(x + 3)(x - 2) ≤ 0

3. Проанализируем знак выражения методом интервалов.

   Заметим, что множитель (x - 7)² всегда неотрицателен (≥ 0). Следовательно, знак всего выражения определяется знаком произведения (x + 3)(x - 2).

   Уравнение (x + 3)(x - 2) = 0 имеет корни x = -3 и x = 2. Эти корни разбивают числовую ось на три интервала:

   • (-∞, -3)
   • (-3, 2)
   • (2, +∞)

   Проверим знак произведения (x + 3)(x - 2) на каждом интервале:

   • При x < -3 (например, x = -4): (-4 + 3)(-4 - 2) = (-1)(-6) = 6 > 0
   • При -3 < x < 2 (например, x = 0): (0 + 3)(0 - 2) = (3)(-2) = -6 < 0
   • При x > 2 (например, x = 3): (3 + 3)(3 - 2) = (6)(1) = 6 > 0

   Нам нужно, чтобы выражение было ≤ 0. Это выполняется на интервале (-3, 2).

4. Учтем множитель (x - 7)²:

   (x - 7)² равен нулю при x = 7. Этот корень также входит в решение, так как неравенство нестрогое (≤).

   Значит, наше решение — это интервал [-3, 2], включая точки -3 и 2, а также точку x = 7.

5. Объединим полученные результаты:

   Объединяя интервал [-3, 2] и точку 7, получаем решение.

Ответ: [-3; 2] ∪ {7}