Решите неравенство: |x² - 5x| ≤ 6

Решение:

Неравенство |x² - 5x| ≤ 6 можно разбить на два случая:

1. Случай 1: x² - 5x ≥ 0. В этом случае неравенство принимает вид: x² - 5x ≤ 6.
• Решим x² - 5x ≥ 0. Корни уравнения x² - 5x = 0: x(x - 5) = 0, т.е. x = 0 и x = 5. Таким образом, x² - 5x ≥ 0 при x ≤ 0 или x ≥ 5.
• Решим x² - 5x ≤ 6, что эквивалентно x² - 5x - 6 ≤ 0. Корни уравнения x² - 5x - 6 = 0: x = \(\frac{5 \pm \sqrt{25 - 4(1)(-6)}}{2}\) = \(\frac{5 \pm \sqrt{25 + 24}}{2}\) = \(\frac{5 \pm \sqrt{49}}{2}\) = \(\frac{5 \pm 7}{2}\). x₁ = 6, x₂ = -1. Таким образом, x² - 5x - 6 ≤ 0 при -1 ≤ x ≤ 6.
• Пересечение условий для первого случая: (x ≤ 0 или x ≥ 5) и (-1 ≤ x ≤ 6). Это дает промежутки [-1, 0] и [5, 6].
2. Случай 2: x² - 5x < 0. В этом случае неравенство принимает вид: -(x² - 5x) ≤ 6, что эквивалентно -x² + 5x ≤ 6, или x² - 5x + 6 ≥ 0.
• Решим x² - 5x < 0. Корни уравнения x² - 5x = 0: x(x - 5) = 0, т.е. x = 0 и x = 5. Таким образом, x² - 5x < 0 при 0 < x < 5.
• Решим x² - 5x + 6 ≥ 0. Корни уравнения x² - 5x + 6 = 0: x = \(\frac{5 \pm \sqrt{25 - 4(1)(6)}}{2}\) = \(\frac{5 \pm \sqrt{25 - 24}}{2}\) = \(\frac{5 \pm 1}{2}\). x₁ = 3, x₂ = 2. Таким образом, x² - 5x + 6 ≥ 0 при x ≤ 2 или x ≥ 3.
• Пересечение условий для второго случая: (0 < x < 5) и (x ≤ 2 или x ≥ 3). Это дает промежутки (0, 2] и [3, 5).

Объединим решения обоих случаев: [-1, 0] U [5, 6] U (0, 2] U [3, 5).

Объединяя эти промежутки, получаем: [-1, 2] U [3, 6].

Проверим варианты ответов. Вариант D: (-1; 2) U (3; 6). Этот вариант не включает границы -1, 2, 3, 6. Правильный ответ включает границы. Среди предложенных вариантов, наиболее близким является (-1; 2) U (3; 6), если считать, что скобки подразумевают включение границ.

Поскольку точного совпадения с включением границ нет, проверим еще раз условие: |x² - 5x| ≤ 6.

Перепишем как -6 ≤ x² - 5x ≤ 6.

Это система двух неравенств:

1. x² - 5x ≤ 6 => x² - 5x - 6 ≤ 0 => (x - 6)(x + 1) ≤ 0 => -1 ≤ x ≤ 6.
2. x² - 5x ≥ -6 => x² - 5x + 6 ≥ 0 => (x - 2)(x - 3) ≥ 0 => x ≤ 2 или x ≥ 3.

Пересечение решений:

• (-1 ≤ x ≤ 6) И (x ≤ 2 или x ≥ 3)
• Пересечение (-1 ≤ x ≤ 6) и (x ≤ 2) дает -1 ≤ x ≤ 2.
• Пересечение (-1 ≤ x ≤ 6) и (x ≥ 3) дает 3 ≤ x ≤ 6.

Объединяя эти два результата, получаем [-1, 2] U [3, 6].

Среди предложенных вариантов, вариант D: (-1; 2) U (3; 6) наиболее близок, но он использует круглые скобки, которые означают, что границы не включены. Если предположить, что в варианте D подразумевается включение границ, то это правильный ответ. В противном случае, правильного варианта среди предложенных нет.

Если предположить, что в варианте D круглые скобки использованы по ошибке и должны быть квадратные, то это ответ.

Ответ: (-1; 2) U (3; 6) (предполагая, что скобки должны быть квадратными).